Δρομείς Μαθηματικοί

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Δρομείς Μαθηματικοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Σάβ Απρ 16, 2016 11:06 pm

O μαραθώνιος του Springfield περιλαμβάνει 2 τύπους εδάφους: χώμα και άσφαλτο. Μεταξύ των συμμετεχόντων υπάρχουν 10 μαθηματικοί
που τρέχουν με σταθερή ταχύτητα η οποία όμως εξαρτάται από τον τύπο του εδάφους (υπάρχουν επομένως 20 διαφορετικές ταχύτητες που περιγράφουν την κίνηση των).
Οι μαθηματικοί, χρονομετρούμενοι από ένα τσιπ στη πλάτη τους , ξεκινάνε από την αφετηρία σε στιγμές διαφορετικές. Σε διαφορετικά σημεία της διαδρομής
έχουν τοποθετηθεί 2500 ακίνητοι θεατές. Μετά τη λήξη της κούρσας παρατηρούμε ότι δεν έγινε καμία προσπέραση μεταξύ των 10 δρομέων στο ύψος κάποιου θεατή.
Να αποδειχθεί ότι 3 θεατές είδαν τους 10 μαθηματικούς να περνάνε στην ίδια ακριβώς σειρά.



Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5767
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 21, 2016 10:39 pm

Επαναφορά! :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 22, 2016 1:27 pm

Την θυμάμαι από όταν μπήκε. Είχα αμελήσει τότε να γράψω την λύση μου. Είναι όντως δύσκολη άσκηση και σωστά μεταφέρθηκε σε αυτόν τον φάκελο.

Η άσκηση γίνεται εύκολη από την στιγμή που κάνουμε την πιο κάτω παρατήρηση:

Έστω δυο δρομείς και έστω A η διαφορά των αποστάσεων από τις οποίες ξεκίνησαν, B η διαφορά των ταχυτήτων τους στο χώμα, και C η διαφορά των ταχυτήτων τους στην άσφαλτο.

Ας πάρουμε την συγκεκριμένη χρονική στιγμή όπου έτρεξαν x_0 μέτρα στο χώμα και y_0 στην άσφαλτο. Τότε το ποιος βρίσκεται μπροστά (δηλαδή έκανε πρώτος αυτά τα x_0+y_0 μέτρα) δηλώνεται από την ευθεία A + Bx + Cy = 0. Αν το σημείο (x_0,y_0) είναι πάνω στην ευθεία τότε βρίσκονται στην ίδια ακριβώς θέση, αν είναι από την μια μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο ένας και αν είναι από την άλλη μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο άλλος.

Έχουμε συνολικά \binom{10}{2} = 45 διαφορετικά ζεύγη δρομέων άρα και 45 διαφορετικές ευθείες. Αυτές οι 45 ευθείες δημιουργούν στο επίπεδο το πολύ \displaystyle{ \binom{45}{0} + \binom{45}{1} + \binom{45}{2} = 1036} διαφορετικά χωρία. (Γνωστό αποτέλεσμα, δείτε εδώ.) Άρα έχουμε το πολύ 1036 διαφορετικές διατάξεις των 10 δρομέων οι οποίες μπορούν να εμφανιστούν.

Αφού έχουμε 2500 άτομα, από την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον τρία άτομα έχουν δει ακριβώς την ίδια διάταξη.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Νοέμ 22, 2016 2:14 pm

Demetres έγραψε:Την θυμάμαι από όταν μπήκε. Είχα αμελήσει τότε να γράψω την λύση μου. Είναι όντως δύσκολη άσκηση και σωστά μεταφέρθηκε σε αυτόν τον φάκελο.

Η άσκηση γίνεται εύκολη από την στιγμή που κάνουμε την πιο κάτω παρατήρηση:

Έστω δυο δρομείς και έστω A η διαφορά των αποστάσεων από τις οποίες ξεκίνησαν, B η διαφορά των ταχυτήτων τους στο χώμα, και C η διαφορά των ταχυτήτων τους στην άσφαλτο.

Ας πάρουμε την συγκεκριμένη χρονική στιγμή όπου έτρεξαν x_0 μέτρα στο χώμα και y_0 στην άσφαλτο. Τότε το ποιος βρίσκεται μπροστά (δηλαδή έκανε πρώτος αυτά τα x_0+y_0 μέτρα) δηλώνεται από την ευθεία A + Bx + Cy = 0. Αν το σημείο (x_0,y_0) είναι πάνω στην ευθεία τότε βρίσκονται στην ίδια ακριβώς θέση, αν είναι από την μια μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο ένας και αν είναι από την άλλη μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο άλλος.

Έχουμε συνολικά \binom{10}{2} = 45 διαφορετικά ζεύγη δρομέων άρα και 45 διαφορετικές ευθείες. Αυτές οι 45 ευθείες δημιουργούν στο επίπεδο το πολύ \displaystyle{ \binom{45}{0} + \binom{45}{1} + \binom{45}{2} = 1036} διαφορετικά χωρία. (Γνωστό αποτέλεσμα, δείτε εδώ.) Άρα έχουμε το πολύ 1036 διαφορετικές διατάξεις των 10 δρομέων οι οποίες μπορούν να εμφανιστούν.

Αφού έχουμε 2500 άτομα, από την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον τρία άτομα έχουν δει ακριβώς την ίδια διάταξη.
όπως πάντα τρομερός!!! :notworthy: :notworthy: :notworthy:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 22, 2016 3:32 pm

Να το δυσκολέψουμε κι άλλο;

Ας κάνουμε τους θεατές 2750. Δείξτε ότι υπάρχουν τέσσερις οι οποίοι είδαν τους δρομείς να περνούν με την ίδια σειρά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης