Ποτέ τέλειος κύβος!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Ποτέ τέλειος κύβος!
Μία άσκηση που κατασκεύασα εμπνευσμένος από το N5 της shortlist της ΙΜΟ 2006
Δείξτε ότι , για οποιονδήποτε ακέραιο , η παράσταση
δεν ισούται ποτέ με τον κύβο ακέραιου.
Δείξτε ότι , για οποιονδήποτε ακέραιο , η παράσταση
δεν ισούται ποτέ με τον κύβο ακέραιου.
Μπατακόγιας Παναγιώτης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ποτέ τέλειος κύβος!
Θα είναι:
Παρατηρούμε για περιττό, το δεξιά μέλος της παραπάνω ισότητας είναι άρτιο σε αντίθεση με το αριστερά,
άρα είναι άρτιος, δηλαδή :
1η περίπτωση:
Αν είναι :
,
που είναι αδύνατη αφού .
2η περίπτωση:
Αν είναι :
,
άρα και με αντικατάσταση στην αρχική έχουμε:
Δουλεύοντας , παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα στο δεξιά μέλος της ισότητας είναι :
Ισχύει από το little Fermat theorem:
Αν .
Αν .
Αν .
Δουλεύοντας στο αριστερό μέλος:
,
δηλαδή το αριστερά μέλος αφήνει διαφορετικά υπόλοιπα από το δεξιά, άρα άτοπο.
Συνεπώς δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιο ώστε η αρχική παράσταση να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.
Σίγουρα θα υπάρχει και πιο γρήγορος τρόπος.
Παρατηρούμε για περιττό, το δεξιά μέλος της παραπάνω ισότητας είναι άρτιο σε αντίθεση με το αριστερά,
άρα είναι άρτιος, δηλαδή :
1η περίπτωση:
Αν είναι :
,
που είναι αδύνατη αφού .
2η περίπτωση:
Αν είναι :
,
άρα και με αντικατάσταση στην αρχική έχουμε:
Δουλεύοντας , παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα στο δεξιά μέλος της ισότητας είναι :
Ισχύει από το little Fermat theorem:
Αν .
Αν .
Αν .
Δουλεύοντας στο αριστερό μέλος:
,
δηλαδή το αριστερά μέλος αφήνει διαφορετικά υπόλοιπα από το δεξιά, άρα άτοπο.
Συνεπώς δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιο ώστε η αρχική παράσταση να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.
Σίγουρα θα υπάρχει και πιο γρήγορος τρόπος.
Ντερέκης Γρηγόρης
Re: Ποτέ τέλειος κύβος!
Ωραίαohgreg έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 13, 2022 11:25 pmΘα είναι:
Παρατηρούμε για περιττό, το δεξιά μέλος της παραπάνω ισότητας είναι άρτιο σε αντίθεση με το αριστερά,
άρα είναι άρτιος, δηλαδή :
1η περίπτωση:
Αν είναι :
,
που είναι αδύνατη αφού .
2η περίπτωση:
Αν είναι :
,
άρα και με αντικατάσταση στην αρχική έχουμε:
Δουλεύοντας , παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα στο δεξιά μέλος της ισότητας είναι :
Ισχύει από το little Fermat theorem:
Αν .
Αν .
Αν .
Δουλεύοντας στο αριστερό μέλος:
,
δηλαδή το αριστερά μέλος αφήνει διαφορετικά υπόλοιπα από το δεξιά, άρα άτοπο.
Συνεπώς δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιο ώστε η αρχική παράσταση να είναι τέλειος κύβος ακεραίου.
Σίγουρα θα υπάρχει και πιο γρήγορος τρόπος.
Μια διαφορετική αντιμετώπιση..
Η αρχικη γραφεται ως
για
Ακολούθως θα αποδείξουμε το εξής λήμμα
Λήμμα: Αν πρώτοι με , τότε ή
Απόδειξη: Από την υπόθεση έχουμε και από το Μικρό Θεώρημα του Φερμά έχουμε
Έστω τώρα ότι
Αυτό σημαίνει ότι , δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε
έχουμε
Άρα
Διαφορετικά
Στην άσκηση τώρα...
έχουμε ότι κάθε διαιρέτης του θα είναι
Επίσης επειδή , για κάθε X διάφορο του 1, .
άρα επειδη ο είναι διαιρέτης του , παίρνουμε
Αυτό σημαίνει ότι , άτοπο αφού και ο είναι διαιρέτης του
Μπατακόγιας Παναγιώτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες