Τέλειο τετράγωνο
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Τέλειο τετράγωνο
Μια άσκηση που κατασκευασα η ιδέα προέρχεται προφανώς από την :.
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί τέτοιοι ώστε:
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί τέτοιοι ώστε:
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειο τετράγωνο
H είναι λύση (αν είναι αποδεκτή). Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για .
Αν περιττός, τότε modulo έχουμε:
Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή τα δεν είναι τέλεια τετράγωνα modulo .
Άρα ο είναι άρτιος.
Αν τέλειο τετράγωνο, τότε υπάρχει αριθμός ελέυθερος τετραγώνου ώστε και . Επειδή άρτιος, τότε οι και είναι λύσεις για το στη διοφαντική εξίσωση .
Αυτή όμως είναι εξίσωση Pell. Έστω η θεμελιώδης λύση. Τότε έχουμε την αναδρομική σχέση με . Αν περιττός, τότε όλα τα είναι περιττοί, άτοπο αφού κάποιο πρέπει να είναι δύναμη του . Άρα άρτιος. Τότε έχουμε άρτιος για κάθε .
Έχουμε επίσης ότι
Τότε όμως είναι
Τότε,
Αλλά
το οποίο είναι άτοπο.
Άρα το δεν μπορεί να είναι δύναμη του . Ούτε όμως το μπορεί να είναι δύναμη του αφού είναι και πολλαπλάσιο του .
Συνεπώς δεν υπάρχουν λύσεις για .
Αν περιττός, τότε modulo έχουμε:
Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή τα δεν είναι τέλεια τετράγωνα modulo .
Άρα ο είναι άρτιος.
Αν τέλειο τετράγωνο, τότε υπάρχει αριθμός ελέυθερος τετραγώνου ώστε και . Επειδή άρτιος, τότε οι και είναι λύσεις για το στη διοφαντική εξίσωση .
Αυτή όμως είναι εξίσωση Pell. Έστω η θεμελιώδης λύση. Τότε έχουμε την αναδρομική σχέση με . Αν περιττός, τότε όλα τα είναι περιττοί, άτοπο αφού κάποιο πρέπει να είναι δύναμη του . Άρα άρτιος. Τότε έχουμε άρτιος για κάθε .
Έχουμε επίσης ότι
Τότε όμως είναι
Τότε,
Αλλά
το οποίο είναι άτοπο.
Άρα το δεν μπορεί να είναι δύναμη του . Ούτε όμως το μπορεί να είναι δύναμη του αφού είναι και πολλαπλάσιο του .
Συνεπώς δεν υπάρχουν λύσεις για .
Re: Τέλειο τετράγωνο
Φοβερό !!!
Δεν το είχα παρατήρηση. Την περίπτωση την είχα κάνει ως εξής:
Αν αδύνατο.
Αν τότε έχουμε αδύνατο αρά
Αν τότε έχουμε αδύνατο αρά
Αν τότε έχουμε αδύνατο αρά
Αρά .
Αν τότε άρτιος αδύνατο οπότε θα πρέπει ομως τοτε δινει
αδύνατο.
Η περίπτωση είναι κοινή.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες