2 Παραγοντικά 1 Δύναμη

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

DrStrange
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 8:30 pm

2 Παραγοντικά 1 Δύναμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DrStrange » Τρί Μάιος 04, 2021 5:41 pm

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (n,m) για τα οποία ισχύει:
m!+n!=m^n+1



Λέξεις Κλειδιά:
2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: 2 Παραγοντικά 1 Δύναμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Μάιος 05, 2021 9:50 am

:santalogo: Αν m<=n τότε m|1 \Rightarrow (m,n)(1,1)

:santalogo: Αν m>n εσύ p=prime,p|m τότε n!\equiv 1(modp)\displaystyle{\Rightarrow p>n.


:logo: Αν m δεν είναι πρώτος έστω pο μικρότερος πρώτος που |m τότε n<p<\frac{m}{p}\leq \frac{m}{3}
Αλλάm!> m^{\frac{m}{3}}>m^{n}\Rightarrow LHS>RHS


:logo: Αν m=p=odd είναι πρώτος τότε:
Έστω q=odd prime και q|m-1=p-1 τότε:n!\equiv 2(modq)\Rightarrow q>n\Rightarrow \frac{p-1}{2}>q>n
Ομως p!> p^{\frac{p-1}{2}}>m^{n}\Rightarrow LHS>RHS

:logo: Αν m=2 τότε: 2+n!=2^n+1
Για n>=4 έχουμε LHS>RHS.


:logo: Αν m=prime=2^k+1 τότε:
Για k=1εχουμε: 6+n!=3^n+1 αδύνατη για n=1,2,3,4,5,6 και για n>=7 LHS>RHS

(Για k>=2 mod4 δεινή n=2 άρα :m!+2=m^2+1 αδύνατη γιαm=1,2,3 και για m>=4LHS>RHS)=λάθος

Για k>=2με mod4 έχουμε n!=2(mod4) οπότε n=2or3.
Για n=2 έχουμε m!+2=m^2+1 αδύνατη για m>=5 αφού LHS>RHS.
Για n=3 έχουμε m!+6=m^3+1 για m=5 ισχύει για m>=9 έχουμε LHS>RHS



Άρα (m,n):(1,1),(2,1),(5,3)
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Πέμ Μάιος 06, 2021 9:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 571
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: 2 Παραγοντικά 1 Δύναμη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Μάιος 06, 2021 12:28 am

Διονύση κοίταξε την τελεύταια περίπτωση! Λείπει η λύση (m,n)=(5,3)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης