Διοφαντική εξίσωση!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Διοφαντική εξίσωση!
Με αφορμή την δεύτερη εξίσωση εδώ, μια παρόμοιου ύφους, αλλά σαφώς δυσκολότερη:
Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση
Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Διαγραφή εφόσον έγραψα την απόπειρα λύσης μου παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Δευ Απρ 13, 2020 6:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Δεν καταλαβαίνω. Αν θέλεις να βάλεις λύση μπορείς να το κάνεις εδώ. Εδώ προτάθηκε το θέμα, εδώ αναμένουμε τις λύσεις.nikhtas30 έγραψε: ↑Δευ Απρ 06, 2020 2:17 amΚαλησπέρα έκανα μια απόπειρα να λύσω το πρόβλημα σας και βρήκα μια λύση δεν είμαι σίγουρος αν υπαρχουν κι' άλλες.Η απόδειξη που έκανα είναι στο παρακάτω link:
https://m.facebook.com/groups/218401806 ... 4759473835
Μάγκος Θάνος
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Οπότε έχουμε:
, εφόσον
, εφόσον
Επομένως συνεχίζω με το ίδιο βιολί...
Παρατηρώ, ότι αν συνεχίσω απλά θα κάνω κύκλους, οπότε δοκιμάζω τις τιμές αυτές στην εξίσωση:
, που ισχύει.
Συνεπώς αυτές είναι και οι λύσεις της εξίσωσης:
Επεξεργασία: Τα έγραψα με μορφή Latex.
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Δευ Απρ 13, 2020 6:19 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Διοφαντική εξίσωση!
παιρνεις mod 11 μετα mod33 βγαινει ατοπο και καταληγεις οτι y=+-33 και μετα βρισκεις το χ.Θα γραψω την λυση αυριο
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Το γεγονός ότι υπάρχει global λύση για δεν μπορώ να καταλάβω πως μια λύση μόνο με κάποιο mod επιχείρημα μπορεί να προκύψει? Αναμένω τη λύση!
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Για αδυνατη για παιρνωντας και επειδη ο αριθμος πρεπει να τελειωνει σε 9 πρεπει το α να ειναι πολ του 3 αρα .Τωρα η εξισωση γινεται αρα το .Κανωντας αντικατασταση βγαινει επειδη πρεπει το 89 να διαιρει ενα απο τα δυο ομως το 89 ειναι πρωτος και δεν ισχυει αυτο.Αρα πρεπει b=1 και μετα με αντικατασταση ειναι .ΛΥσεις (χ,y)=(3,33),(3,-33)
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Διαγραφή εσφαλμένης λύσης
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Τρί Απρ 07, 2020 6:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διοφαντική εξίσωση!
stamas1 έγραψε: ↑Τρί Απρ 07, 2020 1:21 pmΓια αδυνατη για παιρνωντας και επειδη ο αριθμος πρεπει να τελειωνει σε 9 πρεπει το α να ειναι πολ του 3 αρα .Τωρα η εξισωση γινεται αρα το .Κανωντας αντικατασταση βγαινει επειδη πρεπει το 89 να διαιρει ενα απο τα δυο ομως το 89 ειναι πρωτος και δεν ισχυει αυτο.Αρα πρεπει b=1 και μετα με αντικατασταση ειναι .ΛΥσεις (χ,y)=(3,33),(3,-33)
η σωστή είναι
Αν και δεν έχει σημασία μιας και δεν το έχουμε γιατί είναι άτοπο;
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Η λυση μου ειναι λαθος.Η εξισωση η τελευταια ειναι .Ομως αρα το 3 διαιρει το ενα και το 11 το αλλο.Αν το 3 διαρει την πρωτη παρενθεση τοτε το 11 διαρει την αλλη ομως αυτο ειναι ατοπο.Αν το 11 διαρει την πρωτη παρενθεση τοτε το 3 δεν διαιρει την δευτερη γιατι το αθροισμα των ψηφιων ειναι 2 αρα b=1 ....
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Αυτό δεν ισχύει. Για έχουμε ότι .
Πως προσεγγίζεις τη λύση, με Pell εξισώσεις? Δεν έχω προλάβει να ασχοληθώ αλλά κάτι τέτοιο έχω στο μυαλό μου.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Απρ 07, 2020 5:06 pmΝομίζω ότι οι μοναδικές λύσεις είναι οι και .Αν δεν δοθεί λύση κάποια στιγμη θα γράψω την λύση.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Γράφω λύση.Η λύση δεν είναι σωστή.Μια σχέση που χρησιμοποίησα δεν ισχύει.
Αν ο είναι άρτιος είναι εύκολο να δούμε ότι δεν υπάρχει λύση.
Εχουμε λοιπόν την
(*)
Αν δεν υπάρχει λύση.
Αν έχουμε τις λύσεις και
Θα δείξουμε ότι για δεν υπάρχουν λύσεις.
Παίρνοντας στην (*) και βρίσκουμε ότι
Θα έχουμε λοιπόν ότι υπάρχει ώστε
(1)
Αν πάρουμε την (1)
βρίσκουμε
Δεν προκύπτει το
(2)
Ξέρουμε ότι
(3)
Από (1)και (3) αφαιρώντας έχουμε ότι
Εύκολα η τελευταία δίνει ότι υπάρχει φυσικός ώστε
Η (5) δίνει ότι το είναι περιττός .
Αλλά λόγω της (2) η (4) γίνεται
Δυστυχώς η (2) δεν ισχύει οπότε τα παρακάτω δεν βγάζουν το άτοπο.
()
που δίνει ότι το είναι άρτιος.
ΑΤΟΠΟ.
Ευχαριστώ τον min που με π.μ μου επεσήμανε το σφάλμα καθώς και τον Σιλουανό.
Αν ο είναι άρτιος είναι εύκολο να δούμε ότι δεν υπάρχει λύση.
Εχουμε λοιπόν την
(*)
Αν δεν υπάρχει λύση.
Αν έχουμε τις λύσεις και
Θα δείξουμε ότι για δεν υπάρχουν λύσεις.
Παίρνοντας στην (*) και βρίσκουμε ότι
Θα έχουμε λοιπόν ότι υπάρχει ώστε
(1)
Αν πάρουμε την (1)
βρίσκουμε
Δεν προκύπτει το
(2)
Ξέρουμε ότι
(3)
Από (1)και (3) αφαιρώντας έχουμε ότι
Εύκολα η τελευταία δίνει ότι υπάρχει φυσικός ώστε
Η (5) δίνει ότι το είναι περιττός .
Αλλά λόγω της (2) η (4) γίνεται
Δυστυχώς η (2) δεν ισχύει οπότε τα παρακάτω δεν βγάζουν το άτοπο.
()
που δίνει ότι το είναι άρτιος.
ΑΤΟΠΟ.
Ευχαριστώ τον min που με π.μ μου επεσήμανε το σφάλμα καθώς και τον Σιλουανό.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Απρ 08, 2020 12:16 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Σταύρο, από την (1) βρίσκω ότι , την (2) δεν την βλέπω.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Μια απόπειρα που δεν είναι στοιχειώδης όμως.
Όπως είδαμε πρέπει ο να είναι περιττός και .
Παίρνω τώρα και βρίσκω ότι (παίρνω υπόψη ότι περιττός) (απορρίπτεται δηλαδή το ).
Αν πάρω τώρα έχω , επομένως οπότε
, άτοπο. Επομένως .
Καταλήγουμε δηλαδή στην εξίσωση , που είναι εξίσωση τύπου Mordell. Ξέρουμε ότι αυτή έχει πεπερασμένες λύσεις και μάλιστα όλες οι θετικές λύσεις για το είναι και . Επειδή το στην περίπτωσή μας είναι είναι δύναμη του 10, η μόνη δεκτή λύση είναι η οπότε .
Για την εξίσωση Mordell δείτε εδώ https://hr.userweb.mwn.de/numb/mordell.html#tbl5
Όπως είδαμε πρέπει ο να είναι περιττός και .
Παίρνω τώρα και βρίσκω ότι (παίρνω υπόψη ότι περιττός) (απορρίπτεται δηλαδή το ).
Αν πάρω τώρα έχω , επομένως οπότε
, άτοπο. Επομένως .
Καταλήγουμε δηλαδή στην εξίσωση , που είναι εξίσωση τύπου Mordell. Ξέρουμε ότι αυτή έχει πεπερασμένες λύσεις και μάλιστα όλες οι θετικές λύσεις για το είναι και . Επειδή το στην περίπτωσή μας είναι είναι δύναμη του 10, η μόνη δεκτή λύση είναι η οπότε .
Για την εξίσωση Mordell δείτε εδώ https://hr.userweb.mwn.de/numb/mordell.html#tbl5
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Ωραία λύση!silouan έγραψε: ↑Τετ Απρ 08, 2020 6:35 pmΜια απόπειρα που δεν είναι στοιχειώδης όμως.
Όπως είδαμε πρέπει ο να είναι περιττός και .
Παίρνω τώρα και βρίσκω ότι (παίρνω υπόψη ότι περιττός) (απορρίπτεται δηλαδή το ).
Αν πάρω τώρα έχω , επομένως οπότε
, άτοπο. Επομένως .
Καταλήγουμε δηλαδή στην εξίσωση , που είναι εξίσωση τύπου Mordell. Ξέρουμε ότι αυτή έχει πεπερασμένες λύσεις και μάλιστα όλες οι θετικές λύσεις για το είναι και . Επειδή το στην περίπτωσή μας είναι είναι δύναμη του 10, η μόνη δεκτή λύση είναι η οπότε .
Για την εξίσωση Mordell δείτε εδώ https://hr.userweb.mwn.de/numb/mordell.html#tbl5
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Θάνο φαντάζομαι ότι θα έχεις στο μυαλό σου μια πιο στοιχειώδη λύση από αυτή που πρότεινα παραπάνω, σωστά;
Βγαίνει με Pell;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Διοφαντική εξίσωση!
Ναι Σιλουανέ. Το ότι δεν έχει λύσεις με άρτιο είναι τετριμμένο. Ας είναι λοιπόν οπότε η εξίσωση γράφεται
, όπου , που είναι τύπου Pell.
, όπου , που είναι τύπου Pell.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες