Με 3 αγνώστους
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Με 3 αγνώστους
Καλησπέρα.Xriiiiistos έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 06, 2019 11:18 pmΑν είναι θετικοί ακέραιοι και πρώτος να λυθεί η εξίσωση
Θα αποδείξω πρώτα το εξής γνωστό Λήμμα :
Λήμμα
Έστω θετικοί ακέραιοι με πρώτο και . Τότε, και .
Απόδειξη
Έστω .
Προφανώς, αν , τότε και τούμπαλιν.
Έστω λοιπόν ότι κανένας εκ των δεν διαιρείται από το .
Από το μικρό Θεώρημα Fermat,
, άτοπο.
Επομένως, πρέπει αναγκαστικά, και και η απόδειξη του Λήμματος ολοκληρώθηκε.
Πάμε στην άσκηση τώρα.
Αν , τότε , άρα οπότε προκύπτει .
Οπότε, έχουμε την λύση .
Έστω τώρα .
Από το Μικρό Θεώρημα του Fermat, είναι , οπότε η δεδομένη εξίσωση δίνει .
Αν , τότε από το Λήμμα, άτοπο.
Άρα, και παίρνοντας την δοσμένη προκύπτει .
Είναι . Αν , τότε , άτοπο.
Αν πάλι , όμοια , άτοπο.
Τελικά, μοναδική λύση η .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Με 3 αγνώστους
Σωστά!
Για δεν υπάρχουν λύσεις. Ούτε επίσης για . Πρέπει αφού αν τότε . Αφού , τότε
που δίνει . Για παίρνουμε και αφού τότε . Αυτό με την σειρά του δίνει και την λύση .
Για (και ) έχουμε
αφού είναι απλό επαγωγικά ότι για . Αυτό όμως είναι άτοπο αφού έχουμε επίσης ότι .
Άρα μοναδική λύση η .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες