Putnam 2018/B3
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2018/B3
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ταυτόχρονα ο να διαιρεί τον , ο να διαιρεί τον και ο να διαιρεί τον .
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Putnam 2018/B3
Υποθέτουμε για ευνόητους λόγους .
Προφανώς πρέπει , , ώστε να ικανοποιείται η πρώτη συνθήκη. Κάθε τέτοιο την ικανοποιεί.
Σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη πρέπει .
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:
Αν , τότε και αντίστροφα.
Προφανώς και μπορούμε να θέσουμε , όπου θετικός ακέραιος και μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του .
Ισχύει ότι
Τότε είναι , που ισχύει αν και μόνο αν ή , που δεν ισχύει. Άρα και .
Πίσω στην άσκηση:
Σύμφωνα με το λήμμα πρέπει , άρα , όπου . Άρα , . Κάθε τέτοιο ικανοποιεί τις δύο πρώτες συνθήκες.
Σύμφωνα με την τρίτη συνθήκη πρέπει .
Το λήμμα υποδεικνύει ότι , άρα από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι , όπου .
Συνοψίζοντας . Κάθε τέτοιο ικανοποιεί όλες τις συνθήκες.
Πρέπει ωστόσο .
Για , έχουμε .
Για ωστόσο έχουμε .
Συνεπώς τα μόνα που ικανοποιούν είναι αυτά στα οποία , δηλαδή , , , .
Προφανώς πρέπει , , ώστε να ικανοποιείται η πρώτη συνθήκη. Κάθε τέτοιο την ικανοποιεί.
Σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη πρέπει .
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:
Αν , τότε και αντίστροφα.
Προφανώς και μπορούμε να θέσουμε , όπου θετικός ακέραιος και μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του .
Ισχύει ότι
Τότε είναι , που ισχύει αν και μόνο αν ή , που δεν ισχύει. Άρα και .
Πίσω στην άσκηση:
Σύμφωνα με το λήμμα πρέπει , άρα , όπου . Άρα , . Κάθε τέτοιο ικανοποιεί τις δύο πρώτες συνθήκες.
Σύμφωνα με την τρίτη συνθήκη πρέπει .
Το λήμμα υποδεικνύει ότι , άρα από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι , όπου .
Συνοψίζοντας . Κάθε τέτοιο ικανοποιεί όλες τις συνθήκες.
Πρέπει ωστόσο .
Για , έχουμε .
Για ωστόσο έχουμε .
Συνεπώς τα μόνα που ικανοποιούν είναι αυτά στα οποία , δηλαδή , , , .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες