Διαιρείται με το 7;

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6169
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Διαιρείται με το 7;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm

Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11342
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαιρείται με το 7;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 26, 2018 1:06 am

matha έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm
Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}
Από τον τύπο του Legendre (υπάρχει σε Θεωρίες Αριθμών και η απόδειξη είναι προσιτή) η μεγαλύτερη δύναμη του (πρώτου) αριθμού 7 που διαιρεί τον 1000! είναι

\displaystyle{\left \lfloor \frac {1000}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^3} \right \rfloor +...},
εδώ 142+20+2+0=164 . Όμοια για τον 500! είναι \displaystyle{\left \lfloor \frac {500}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^3} \right \rfloor +...=71+10+1+0=82}. Με άλλα λόγια \displaystyle{1000!= 7^{164}N, \, 500!= 7^{82}M} όπου οι ακέραιοι N, \, M δεν έχουν 7 στην ανάλυσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Έτσι ο ακέραιος \displaystyle{\binom{1000}{500}=\frac {1000!}{500!500!} = \frac {7^{164}N}{(7^{82}M)^2}=  \frac {N}{M^2}} δεν έχει 7 γιατί αλλιώς θα είχε 7 ο \displaystyle{M^2 \binom{1000}{500}=N}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαιρείται με το 7;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Νοέμ 26, 2018 1:51 pm

Ας δούμε και μια προσέγγιση με το Θεώρημα Kummer το οποίο λέει το εξής:

Η μεγαλύτερη δύναμη ενός πρώτου p η οποία διαιρεί τον αριθμό \binom{n}{m} ισούται με το πλήθος των φορών που πρέπει να κρατήσουμε ψηφίο όταν προσθέσουμε τα m και n-m στην βάση p.

Π.χ. επειδή 500 = 7^3 + 3\cdot 7^2 + 1 \cdot 7 + 3 τότε 500 = (1313)_7. Επειδή στην πρόσθεση (1313)_7 + (1313)_7 = (2626)_7 δεν κρατάμε ψηφίο, τότε ο 7 δεν διαιρεί το \binom{1000}{500}.

Το Θεώρημα του Kummer μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Legendre που ανέφερε ο Μιχάλης.


minageus
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 25, 2019 7:28 pm

Re: Διαιρείται με το 7;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minageus » Τρί Ιούλ 02, 2019 10:02 pm

Είναι άμεση εφαρμογή του τύπου του de Polignac.
Η μεγαλύτερη δύναμη του 7 που διαιρεί το 1000! είναι το \sum_{3}^{k=1}\left \lfloor \frac{1000}{7^k} \right \rfloor=164.
Ομοίως η μεγαλύτερη δύναμη του 7 που διαιρεί το 500! είναι το 82. Όμως,
\binom{1000}{500}=\frac{1000!}{(500!)^2}. Άρα, η μεγαλύτερη δύναμη του 7 πο διαιρεί τον αρχικό αριθμό είναι το 164-2\cdot 82=0.


Δημήτρης Μηνάγιας
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης