2 πρώτοι και ένας φυσικός

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

2 πρώτοι και ένας φυσικός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 am

Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων (r,p,q) , με p,q να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ


\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιουν 30, 2018 1:34 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 am
Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων (r,p,q) , με p,q να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ


\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2
(p,q,r)=(3,2,6), θα επανέλθω αύριο αν δεν απαντηθεί


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιουν 30, 2018 1:40 pm

Πρέπει r^2=5q^2+2p^2-2 (1).

Έστω πως οι πρώτοι p, q δεν διαιρούνται με το 3.

Τότε:

r^2\equiv 5+2-2 \pmod{3}\Leftrightarrow r^2\equiv 2 \pmod{3}, άτοπο (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι είτε της μορφής 3k είτε 3k+1, με k μη αρνητικό ακέραιο ακέραιο και η πρώτη περίπτωση ισχύει μόνο αν η βάση διαιρείται με το 3).

Ως αποτέλεσμα ένας τουλάχιστον από τους p, q θα διαιρείται με το 3.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) 3|p. Λόγω του ότι ο p είναι πρώτος έχουμε το ότι p=3.

Επομένως η (1) γίνεται:

r^2=5q^2+16

Έστω q\ne 2.

Τότε το q^2 είναι περιττός, άρα και το r θα είναι περιττός. Από γνωστό λήμμα θα είναι q^2\equiv 1 \pmod{8}\Leftrightarrow 5q^2\equiv 5 \pmod{8}, άρα r^2\equiv 5 \pmod{8}, άτοπο, καθώς r^2\equiv 1 \pmod{8}.

Άρα q=2 και r=6, μια τριάδα λοιπόν είναι η (3, 2, 6).

2) 3|q. Λόγω του ότι ο q είναι πρώτος έχουμε το ότι q=3. Επομένως η (1) γίνεται:

r^2=43+2p^2. Το r είναι προφανώς περιττός. Έστω p\ne 2. Τότε όπως και παραπάνω το p^2 είναι περιττός, άρα p^2\equiv 1 \pmod{8}, άρα 2p^2\equiv 2 \pmod{8}, άρα r^2\equiv 5 \pmod{8}, άτοπο, καθώς r^2\equiv 1 \pmod{8}.

Αν τώρα p=2 τότε έχουμε r^2=51, άτοπο.

Συνοψίζοντας λοιπόν μοναδική λύση είναι η (p, q, r)=(3, 2, 6).

Τώρα σε είδα Ορέστη! Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης :roll: ...


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης