ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #1

Να δείξετε ότι αν για κάθε $n\in\mathbb{N}$ o αριθμός (a^n-1)(b^n-1)

με

θετικούς ακεραίους είναι τέλειο τετράγωνο τότε a=b

.

alexandrosvets · #2

Καλησπέρα.

Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ .Οταν a=b

έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα αφού (a^n-1)(b^n-1)

είναι τέλειο τετράγωνο τότε πρέπει ο όρος $(\frac{a-b}{2})^2=0 \Leftrightarrow a^n-1=b^n-1 \Leftrightarrow a=b.$

Με κάθε επιφύλαξη ότι δεν έχω κάνει κάποιο σφάλμα.

#3

alexandrosvets έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 23, 2018 1:56 pm

Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ .Οταν έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα αφού είναι τέλειο τετράγωνο τότε πρέπει ο όρος $(\frac{a-b}{2})^2=0 \Leftrightarrow a^n-1=b^n-1 \Leftrightarrow a=b.$

Με κάθε επιφύλαξη ότι δεν έχω κάνει κάποιο σφάλμα.

Αλέξανδρε, ίσως επειδή είμαι στο αεροδρόμιο για αλλαγή πτήσης και έχω άγχος μήπως χάσω το αεροπλάνο μου, αλλά δεν καταλαβαίνω λέξη
από την λύση σου. Π.χ. η υπόθεση είναι ότι το (a^n-1)(b^n-1)

είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε

. Πού ακριβώς το χρησιμοποίησες αυτό;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

alexandrosvets έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 23, 2018 1:56 pm
Καλησπέρα.

Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ .Οταν έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα αφού είναι τέλειο τετράγωνο τότε πρέπει ο όρος $(\frac{a-b}{2})^2=0 \Leftrightarrow a^n-1=b^n-1 \Leftrightarrow a=b.$

Με κάθε επιφύλαξη ότι δεν έχω κάνει κάποιο σφάλμα.

Το σφάλμα είναι ότι αν το $k^{2}-l^{2}$ είναι τέλειο τετράγωνο δεν σημαίνει ότι l=0

π.χ $5^{2}-3^{2}=4^{2}$

alexandrosvets · #5

Καλησπέρα σας κύριε Λάμπρου και κύριε Παπαδόπουλε,

Κύριε Λάμπρου θέτω ως (a^n-1)=a , (b^n-1)=b

και σύμφωνα με την πρόταση "Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ .Οταν a=b

έχουμε ότι το αριστερο μέλος είναι τέλειο τετράγωνο".

Κύριε Παπαδόπουλε το $5^2-3^2=(5-3)(5+3)=2\cdot2^3=4\cdot4$ .

Φιλικά,
ΑΒ

#6

Αλέξανδρε ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Πάντως καλό είναι να μην δυσκολεύουμε τους συμβολισμούς και τους συλλογισμούς,
χωρίς λόγο. Π.χ. άντε να καταλάβω τι θέλεις να πεις όταν γράφεις

alexandrosvets έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 23, 2018 5:38 pm
θέτω ως

Ηχεί σαν να λες θέτω (2^3-1)=2

Επίσης, δεν χρειάζεται ακροβασία του τύπου

alexandrosvets έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 23, 2018 5:38 pm
Γνωρίζουμε ότι $ab= (\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ . Οταν έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι τέλειο τετράγωνο".

για το συμπέρασμα. Απλά, αν a=b

έχουμε

τέλειο τετράγωνο αυτόματα.

Πάντως εξακολουθώ να έχω σκοτεινά σημεία στον συλλογισμό σου. Κούραση από πλευράς μου; Ίσως.

#7

Αλέξανδρε, λες ότι αν

είναι τέλειο τετράγωνο, τότε a=b

. Αυτό προφανώς δεν ισχύει. (Π.χ. για a=2,b=8

.)

alexandrosvets · #8

Κύριε Λάμπρου έχετε απόλυτο δίκιο.Επίσης,ανέφερα "με κάθε επιφύλαξη",γιατί είχα είχα έναν ενδοιασμό για τον αν ο συλλογισμός μου είναι κύκλος.

Επίσης,να ευχαριστήσω και τον κύριο Δημήτρη που αποσαφήνισε (μάλλον) τον συλλογισμό του κυρίου Παπαδόπουλου.

Φιλικά,
ΑΒ

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ · #9

Επαναφορά! (πρόκειται για δύσκολο πρόβλημα!Κρίνοντας τουλάχιστον από την λύση του).

#10

Πρόκειται όντως για αρκετά δύσκολο πρόβλημα.
Δείτε εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 01p1932947

ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Μέλη σε σύνδεση