Ακολουθία

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Ακολουθία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τρί Μάιος 01, 2018 6:27 pm

Η ακολουθία \{a_n\}_{n=1} ^{\infty} ορίζεται με τις σχέσεις:
a_1=a_2=a_3=1, a_{n+1}=\frac{a_n a_{n-1} +1}{a_{n-2}}
Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί ακέραιοι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ακολουθία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 01, 2018 7:38 pm

Θέτουμε στην αναδρομική σχέση \displaystyle{n\to n+1,} οπότε έχουμε τις σχέσεις

\displaystyle{\begin{cases}a_{n+2}a_{n-1}=a_{n+1}a_n+1, \\ a_{n+1}a_{n-2}=a_n a_{n-1}+1.\end{cases}}

Με αφαίρεση προκύπτει

\displaystyle{a_{n+2}a_{n-1}-a_{n+1}a_{n-2}=a_{n+1}a_n-a_n a_{n-1}}

η οποία γράφεται ως

\displaystyle{\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}.}

Τότε, η ακολυθία \displaystyle{b_n:=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}} ικανοποιεί την \displaystyle{b_{n+2}=b_n.} Επειδή προφανώς είναι \displaystyle{b_3=2, b_4=3,} είναι

\displaystyle{b_n=\begin{cases}2,~~if~~n~~odd, \\ 3,~~if~~n~~even\end{cases}}.

Άρα

\displaystyle{a_n=ka_{n-1}-a_{n-2}} για κάθε \displaystyle{n,} όπου \displaystyle{k=2\vee 3.} Τώρα το ζητούμενο είναι άμεσο επαγωγικά.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 02, 2018 4:56 pm

Λήμμα: Αν a_n,a_{n+1},\ldots,a_{n+5} είναι θετικοί ακέραιοι, τότε και ο a_{n+6} είναι θετικός ακέραιος.

Απόδειξη λήμματος: :Έχουμε διαδοχικά τα εξής:

\displaystyle  a_{n+5} = \frac{a_{n+4}a_{n+3}+1}{a_{n+2}} \Rightarrow a_{n+2}a_{n+5} \equiv 1 \bmod a_{n+3} \qquad (1)
\displaystyle  a_{n+4} = \frac{a_{n+3}a_{n+2}+1}{a_{n+1}} \Rightarrow a_{n+1}a_{n+4} \equiv 1 \bmod a_{n+3} \qquad (2)
\displaystyle  a_{n+3} = \frac{a_{n+2}a_{n+1}+1}{a_{n}} \Rightarrow a_{n+1}a_{n+2} \equiv -1 \bmod a_{n+3} \qquad (3)

Από τις (1)-(3) παίρνουμε a_{n+4}a_{n+5} \equiv -1 \bmod a_{n+3}. Οπότε ο \displaystyle  a_{n+6} = \frac{a_{n+4}a_{n+5}+1}{a_{n+3}} είναι ακέραιος, προφανώς θετικός.

Οπότε το λήμμα αποδείχθηκε. Το ζητούμενο τώρα έπεται επαγωγικά αφού είναι εύκολο να δούμε ότι οι a_1=a_2=a_3=1,a_4=2,a_5=3 και a_6 = 7 είναι θετικοί ακέραιοι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης