Σύνολο αριθμών

Datis-Kalali · #1

Δίνεται το σύνολο $S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}$ όπου a>1

είναι θετικός ακέραιος.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο $M\subseteq S$ με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο

είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Πηγή: Ρουμανία 1997

dement · #2

Datis-Kalali έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 07, 2018 4:44 pm
Δίνεται το σύνολο $S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}$ όπου είναι θετικός ακέραιος.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο $M\subseteq S$ με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Πηγή: Ρουμανία 1997

Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε πεπερασμένο σύνολο πρώτων $P = \{ p_1, p_2, ..., p_n \}$ με $p_k \nmid a$ υπάρχει $x \in S$ που δεν διαιρείται από κανένα από τα στοιχεία του

.

Έστω $\displaystyle d \equiv \prod_{k=1}^n (p_k-1)$ . Τότε $\displaystyle \prod_{k=1}^n p_k \mid a^d - 1 \implies p_k \nmid a^{d+1} + a^d - 1 \in S$ για κάθε

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Επομένως, για κάθε πεπερασμένο $S' \subseteq S$ του οποίου τα στοιχεία είναι πρώτα προς άλληλα υπάρχει $x \in S - S'$ πρώτο προς κάθε στοιχείο του

. Aυτό αποδεικνύει την ύπαρξη του ζητούμενου άπειρου υποσυνόλου.

Σύνολο αριθμών

Σύνολο αριθμών

Re: Σύνολο αριθμών

Μέλη σε σύνδεση