Σύνολο αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Σύνολο αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Σάβ Απρ 07, 2018 4:44 pm

Δίνεται το σύνολο S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\} όπου a>1 είναι θετικός ακέραιος.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο M\subseteq S με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο M είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Πηγή: Ρουμανία 1997



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σύνολο αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Απρ 08, 2018 12:48 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Σάβ Απρ 07, 2018 4:44 pm
Δίνεται το σύνολο S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\} όπου a>1 είναι θετικός ακέραιος.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο M\subseteq S με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο M είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Πηγή: Ρουμανία 1997
Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε πεπερασμένο σύνολο πρώτων P = \{ p_1, p_2, ..., p_n \} με p_k \nmid a υπάρχει x \in S που δεν διαιρείται από κανένα από τα στοιχεία του P.

Έστω \displaystyle d \equiv \prod_{k=1}^n (p_k-1). Τότε \displaystyle \prod_{k=1}^n p_k \mid a^d - 1 \implies p_k \nmid a^{d+1} + a^d - 1 \in S για κάθε k και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Επομένως, για κάθε πεπερασμένο S' \subseteq S του οποίου τα στοιχεία είναι πρώτα προς άλληλα υπάρχει x \in S - S' πρώτο προς κάθε στοιχείο του S'. Aυτό αποδεικνύει την ύπαρξη του ζητούμενου άπειρου υποσυνόλου.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες