Διαιρετότητα!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Διαιρετότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Πέμ Φεβ 01, 2018 7:47 pm

Να βρείτε όλες τις μη-αρνητικούς ακέραιους (a,b,c), έτσι ώστε 2^c-1 \vert 2^a+2^b+1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαιρετότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 03, 2018 6:07 pm

Για c=0,1 είναι 2^c-1 = \pm 1 οπότε οποιεσδήποτε τιμές των a,b μας κάνουν.

Για c=2 είναι 2^c-1 = 3. Τα 2^a και 2^b παίρνουν περιοδικά τις τιμές 1,2 \bmod 3. Για να έχουμε 2^a + 2^b + 1 \equiv 0 \bmod 3 πρέπει 2^a \equiv 2^b \equiv 1 \bmod 3. Άρα πρέπει a,b άρτιοι.

Για c=3 είναι 2^c-1 = 7. Τα 2^a και 2^b παίρνουν περιοδικά τις τιμές 1,2,4 \bmod 7. Για να έχουμε 2^a + 2^b + 1 \equiv 0 \bmod 7 πρέπει το ένα από τα 2^a,2^b να είναι ισότιμο με 2 \bmod 7 και το άλλο να είναι ισότιμο με 4 \bmod 7. Άρα πρέπει a \equiv 1 \bmod 3 και b \equiv 2 \bmod 3 ή αντίστροφα.

Για c \geqslant 4, παρατηρούμε ότι τα 2^a και 2^b παίρνουν περιοδικά τις τιμές 1,2,4,...,2^{c-1} \bmod 2^c-1. Όμως 2^{c-1} + 2^{c-1} + 1= 2^c + 1, και 2^{c-2}+2^{c-1} + 1 = \frac{3}{4} \cdot 2^c + 1 < 2^c - 1 (αφού \frac{1}{4} 2^c \geqslant 4). Άρα για οποιεσδήποτε τιμές των a,b το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2^a+2^b+1 είτε είναι ίσο με 2, είτε είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 3 και μικρότερο του 2^c-1. Οπότε 2^c-1 \nmid 2^a + 2^b + 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης