Πρώτος και δύναμη!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Πρώτος και δύναμη!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Σεπ 23, 2017 7:03 pm

Έστω n \in \mathbb{N} ώστε ο 4^n+2^n+1 να είναι πρώτος.

Να δείξετε, ότι ο n είναι δύναμη του 3.

Προς το παρόν δεν έχω λύση ...


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πρώτος και δύναμη!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Σεπ 24, 2017 9:27 am

ΛΗΜΜΑ 1ο

Κάθε πολυώνυμο P(x)=x^a+x^b+x^c, a\not\equiv b\not\equiv c\not\equiv a(mod3) διαιρείται από το πολυώνυμο Q(x)=x^2+x+1.

Πράγματι, το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζες m=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},n=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},αφού m^3=n^3=1, m^2+m+1=n^2+n+1=0. Επειδή m,n ρίζες του Q(x), έπεται ότι Q(x) διαιρεί P(x)

ΛΗΜΜΑ 2ο

Αν a^{2k}+a^k+1 πρώτος, τότε 3/k[/tex}

Πράγματι, αν δεν ισχύει 3/k, τότε 2k\not\equiv k\not\equiv 0(mod3).Οπότε, a^2+a+1/a^{2k}+a^k+1,άτοπο.

Ερχόμαστε στο πρόβλημα.Εστω ότι υπάρχει πρώτος διαιρέτης p του n ,διάφορος του 3.Εστω ότι n=ps
Τότε, 4^n+2^n+1=2^{2n}+2^n+1=(2^s)^{2p}+(2^s)^p+1.

Αφού ο αριθμός είναι πρώτος, έπεται ότι 3/p , άτοπο.

Αρα ο n δύναμη του 3.


Κώστας Σφακιανάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12249
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος και δύναμη!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 24, 2017 11:17 am

Κώστα, πολύ ωραία.

Μόλις μπήκα στο φόρουμ για να γράψω λύση αλλά με πρόλαβες. Η λύση μου είναι περίπου ίδια με την δική σου αλλά στις λεπτομέρεις το γράψιμό σου πολύ πιο κομψό από αυτό που είχα κατά νου.

Γράφω για να ρωτήσω ότι τι απέγινες. Θυμάμαι ότι πριν από (νομίζω) 3 χρόνια είχες σκοπό να σπουδάσεις Ιατρική. Πού βρίσκεσαι τώρα; Αν σπουδάζεις οτιδήποτε άλλο εκτός από Μαθηματικά δεν έχουμε παρά να θαυμάσουμε διπλά τις ωραίες παρεμβάσεις σου στο φόρουμ.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πρώτος και δύναμη!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Σεπ 25, 2017 9:38 am

Κώστα χαίρομαι που βλέπω τις όμορφες παρεμβάσεις σου πότε πότε!

κ. Μιχάλη κι εγώ αυτό που ξέρω είναι ότι ο Κώστας σπουδάζει στην Ιατρική Ηρακλείου!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12249
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος και δύναμη!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 25, 2017 12:37 pm

cretanman έγραψε:
Δευ Σεπ 25, 2017 9:38 am
Κώστα χαίρομαι που βλέπω τις όμορφες παρεμβάσεις σου πότε πότε!

κ. Μιχάλη κι εγώ αυτό που ξέρω είναι ότι ο Κώστας σπουδάζει στην Ιατρική Ηρακλείου!

Αλέξανδρος
Αλέξανδρε, σωστά.

'Οπως με διαβεβαίωσε ο ίδιος, ο Κώστας είναι στην μέση των σπουδών του Ιατρικής, στο Ηράκλειο.

Χαιρόμαστε που τα Μαθηματικά παραμένουν ένα ισχυρό ενδιαφέρον του παρά τις απαιτητικές σπουδές στην Σχολή του.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12249
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πρώτος και δύναμη!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 28, 2017 8:52 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Σεπ 23, 2017 7:03 pm
Έστω n \in \mathbb{N} ώστε ο 4^n+2^n+1 να είναι πρώτος.

Να δείξετε, ότι ο n είναι δύναμη του 3.
Ας δούμε την λύση που είχα κατά νου αν και είναι στο ίδιο μήκος κύματος, έχει όμως μικροδιαφορές που θέλω να επισημάνω.

Γενικότερα θα δείξουμε ότι αν ο n έχει παράγοντα διαφορετικό του 3, δηλαδή n=3^mq με q>1 μη πολλαπλάσιο του 3 (εδώ το m μπορεί να είναι και 0), τότε το πολυώνυμο x^{2n} + x^n+1 γράφεται ως γινόμενο του x^{2n/q}+x^{n/q}+1 επί πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Για x=2 έχουμε το ζητούμενο.

Έστω πρώτα m=0 οπότε q=3N+1 ή q=3N+2. Θέτουμε x= \omega όπου \omega η μιγαδική τρίτη ρίζα της μονάδας, οπότε για q=3N+1 (όμοια για q=3N+2) έχουμε

\displaystyle { x^{2n} + x^n+1= \omega ^{2n} + \omega^n+1 = \omega^{2(3N+1) } + \omega^{3N+1 }+1 =

\displaystyle {=  \omega ^{2} + \omega+1 =0

Όμοια το πολυώνυμο μηδενίζεται για x=\omega ^2 , οπότε έχει παράγοντα το (x-\omega)(x-\omega ^2)=x^2+x+1.

To υπόλοιπα είναι τώρα απλό από γνωστό θεώρημα των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Βλέπε π.χ. τα ποστ 31 έως 35 εδώ

Γενικότερα, θέτοντας y=x^{3^m}= x^{n/q} έχουμε

x^{2n}+x^n+1= x^{2\cdot 3^mq}+  x^{ 3^mq}+1= y^{2q}+  y^{q}+1= που από το προηγούμενο ισούται με το γινόμενο του y^2+y+1 επί ακέραιο πολυώνυμo, το οποίο είναι ακριβώς το αποδεικτέο.

Σχόλιο: Με Λογισμικό έβγαλα τα ακόλουθα παραδείγματα που επιβεβαιώνουν τον παραπάνω συλλογισμό:

x^{30}+x^{15}+1= (x^6+x^3+1) (x ^{24}  - x ^{21}  + x^{15}   - x ^{12}  + x^{9}  - x^3  + 1)

x^{36}+x^{18}+1= (x^{18}+x^{9}+1) (x^{18}-x^{9}+1)

x^{108}+x^{54}+1= (x^{54}+x^{27}+1) (x^{54}-x^{27}+1)

x^{270}+x^{135}+1= (x^{54}+x^{27}+1) (x ^{216}  - x ^{189}  + x^{135}   - x ^{108}  + x^{81}  - x^{27}  + 1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες