Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1283
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Ιουν 20, 2017 4:03 pm

Με αφορμή αυτό: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=63&t=59042

Έστω \mathcal{P} το σύνολο των πρώτων που είναι μικρότεροι από 2^{100}.

Να αποδείξετε ότι \displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}<10.

Μπορεί το φράγμα να βελτιωθεί και άλλο;


Σιλουανός Μπραζιτίκος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1283
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Ιούλ 24, 2017 8:11 pm

Επαναφορά!


Σιλουανός Μπραζιτίκος
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:01 pm

Επαναφορά!

Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: \displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k}.

Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=63&t=59042) αλλά θα καταλήξω λογικά σε ακριβές αποτέλεσμα, πράγμα που δεν ζητάει η άσκηση. Γι΄αυτό πιστεύω πως είμαι στον λάθος δρόμο :oops: .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:59 pm

Ισχύει ότι \displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p} \sim \log{\log{n}} + M} όπου M είναι η σταθερά του Mertens. Δείτε εδώ: en.wikipedia.org/wiki/Meissel–Mertens_constant.

Οπότε «ισχύει» επίσης ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι μικρότερο και του 5. Θα δω όμως αν μπορεί να υπάρξει κάποια όσο το δυνατόν πιο στοιχειώδης απόδειξη με το 10.

[Έβαλα το «ισχύει» σε εισαγωγικά, διότι το αποτέλεσμα είναι ασυμπτωτικό. Θα εκλπησσόμουν όμως αν δεν ίσχυε δίοτι το 2^{100} είναι αρκετά μεγάλο.]


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης