Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την:
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Επαναφορά!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Πρώτα απ' όλα, παρατηρούμε ότι πρέπει .
Έστω οι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού .
Αν υποθέσουμε ότι τότε και οπότε από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι Ειδικότερα, ο είναι περιττός, οπότε από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε ότι Επομένως, αν τότε και αν πάρουμε έναν πρώτο διαιρέτη του , τότε θα έχουμε ότι και πράγμα άτοπο.
Είναι γνωστό ότι
οπότε
Επειδή για κάθε έχουμε ότι:
οπότε
.
Παρατηρούμε τώρα ότι:
Συνεπώς, από τη σχέση προκύπτει ότι αν ή τότε και από τα παραπάνω καταλήγουμε σε άτοπο.
Έτσι, πρέπει και δηλαδή ή
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα οπότε
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα .
Αν τότε η σχέση δίνει ότι και .
Αν ο είναι περιττός, τότε οπότε η σχέση δίνει ότι Αλλά για είναι οπότε πρέπει Τότε, η σχέση δίνει ότι που είναι άτοπο.
Ώστε, η δοσμένη εξίσωση έχει τις λύσεις .
Έστω οι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού .
Αν υποθέσουμε ότι τότε και οπότε από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι Ειδικότερα, ο είναι περιττός, οπότε από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε ότι Επομένως, αν τότε και αν πάρουμε έναν πρώτο διαιρέτη του , τότε θα έχουμε ότι και πράγμα άτοπο.
Είναι γνωστό ότι
οπότε
Επειδή για κάθε έχουμε ότι:
οπότε
.
Παρατηρούμε τώρα ότι:
Συνεπώς, από τη σχέση προκύπτει ότι αν ή τότε και από τα παραπάνω καταλήγουμε σε άτοπο.
Έτσι, πρέπει και δηλαδή ή
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα οπότε
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα .
Αν τότε η σχέση δίνει ότι και .
Αν ο είναι περιττός, τότε οπότε η σχέση δίνει ότι Αλλά για είναι οπότε πρέπει Τότε, η σχέση δίνει ότι που είναι άτοπο.
Ώστε, η δοσμένη εξίσωση έχει τις λύσεις .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Σας ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες και περιποιημένες λύσεις που δίνετε!emouroukos έγραψε:Πρώτα απ' όλα, παρατηρούμε ότι πρέπει .
Έστω οι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού .
Αν υποθέσουμε ότι τότε και οπότε από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι Ειδικότερα, ο είναι περιττός, οπότε από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε ότι Επομένως, αν τότε και αν πάρουμε έναν πρώτο διαιρέτη του , τότε θα έχουμε ότι και πράγμα άτοπο.
Είναι γνωστό ότι
οπότε
Επειδή για κάθε έχουμε ότι:
οπότε
.
Παρατηρούμε τώρα ότι:
Συνεπώς, από τη σχέση προκύπτει ότι αν ή τότε και από τα παραπάνω καταλήγουμε σε άτοπο.
Έτσι, πρέπει και δηλαδή ή
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα οπότε
Αν τότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα .
Αν τότε η σχέση δίνει ότι και .
Αν ο είναι περιττός, τότε οπότε η σχέση δίνει ότι Αλλά για είναι οπότε πρέπει Τότε, η σχέση δίνει ότι που είναι άτοπο.
Ώστε, η δοσμένη εξίσωση έχει τις λύσεις .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης