Απίστευτοι Αριθμοί
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Απίστευτοι Αριθμοί
Ένας απίστευτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής:
με μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς.
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι απίστευτοι αριθμοί!
με μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς.
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι απίστευτοι αριθμοί!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Απίστευτοι Αριθμοί
Επαναφορά!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2017 11:11 amΈνας απίστευτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής:
με μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς.
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι απίστευτοι αριθμοί!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Απίστευτοι Αριθμοί
Θα αποδείξουμε πρώτα την εξής Ιδιότητα:ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2017 11:11 amΈνας απίστευτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής:
με μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς.
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι απίστευτοι αριθμοί!
Ιδιότητα 1
Κάθε αριθμός , έχει ένα τουλάχιστον απίστευτο πολλαπλάσιο.
Απόδειξη
Από το δεκαδικό σύστημα γνωρίζουμε ότι κάθε αριθμός γράφεται στην μορφή .
Άρα, στο δυαδικό σύστημα, κάθε αριθμός γράφεται στην μορφή , με . Επομένως, παίρνοντας αρκετά μεγάλο , είναι .
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα , χωρίζουμε τις δυνάμεις, μέχρι να φτάσουμε ακριβώς όρους.
Επομένως, ο αριθμός γράφεται ως άθροισμα δυνάμεων του , άρα είναι φανταστικός. .
Το αποτέλεσμα παραπάνω, μας δίνει ότι .
Θα δείξουμε ότι γίνεται .
Έστω, ότι υπάρχει αριθμός , ώστε ο να είναι απίστευτος, και έστω επίσης ο αυτό το είναι το μικρότερο, με αυτήν την ιδιότητα.
Είναι λοιπόν , με (μπορούμε να το υποθέσουμε αυτό, γιατί τις ίσες δυνάμεις του τις ''παίρνουμε'' μαζί, οπότε το γράφεται , και με αυτήν την διαδικασία, όλες οι δυνάμεις είναι διαφορετικές).
Στο σημείο αυτό, θα δείξουμε το εξής :
Ιδιότητα 2
Ισχύει .
Απόδειξη
Αν ισχύει , τότε , και όμοια , για κάθε .
Άρα, , άτοπο. .
Επομένως, .
Αν τώρα , είναι
.
Άρα,ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του , και εύκολα διαπιστώνουμε ότι , που αντίκειται στην ελαχιστότητα του .
Τελικά, καταλήξαμε στο ότι κανένα πολλαπλάσιο του δεν είναι απίστευτος αριθμός, οπότε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες