Απλή!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Απλή!
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους
Να βρείτε όλoυς τoυς πρώτους που ικανοποιούν την , όπου o προαναφερθείς θετικός ακέραιος. Για μαθητές
Να βρείτε όλoυς τoυς πρώτους που ικανοποιούν την , όπου o προαναφερθείς θετικός ακέραιος. Για μαθητές
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Απλή!
Δεν την λες και πολύ απλή...
1. Πρέπει να ισχύει ότι
Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
. Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:
. Πρέπει να ισχύει ότι , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.
2. Η εξίσωση γίνεται:
Για δεν έχουμε λύσεις.
Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.
Επομένως η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.
Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
1. Πρέπει να ισχύει ότι
Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
. Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:
. Πρέπει να ισχύει ότι , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.
2. Η εξίσωση γίνεται:
Για δεν έχουμε λύσεις.
Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.
Επομένως η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.
Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Πέμ Μαρ 16, 2017 3:02 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Απλή!
Εννοώ ότι δεν είναι πάρα πολύ απλή για Juniors...JimNt. έγραψε:Σε ποιο σημείο αναφέρεσαι;
Houston, we have a problem!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Απλή!
Θα την μεταφέρω στους Seniors.
Αν χρειαζόμαστε lifting the exponent για την επίλυση τότε δεν είναι τόσο κατάλληλη για Juniors. Σκεφτείτε πόσα πρέπει να μάθει ένας Junior προτού να είναι έτοιμος να την αντιμετωπίσει. Πιθανώς τέτοια άσκηση να μην έμπαινε ούτε στον Αρχιμήδη των Seniors!
Έχουν βέβαια εμφανιστεί ασκήσεις στην JBMO που ήθελαν lifitng the exponent. Καλύτερα όμως οι Junior μας που έχουν την δυνατότητα να λύνουν τέτοιες ασκήσεις να ρίχνουν ματιές και στους φακέλους των Seniors παρά να δυσκολεύουμε τόσο το επίπεδο των φακέλων των Juniors.
Αν χρειαζόμαστε lifting the exponent για την επίλυση τότε δεν είναι τόσο κατάλληλη για Juniors. Σκεφτείτε πόσα πρέπει να μάθει ένας Junior προτού να είναι έτοιμος να την αντιμετωπίσει. Πιθανώς τέτοια άσκηση να μην έμπαινε ούτε στον Αρχιμήδη των Seniors!
Έχουν βέβαια εμφανιστεί ασκήσεις στην JBMO που ήθελαν lifitng the exponent. Καλύτερα όμως οι Junior μας που έχουν την δυνατότητα να λύνουν τέτοιες ασκήσεις να ρίχνουν ματιές και στους φακέλους των Seniors παρά να δυσκολεύουμε τόσο το επίπεδο των φακέλων των Juniors.
Re: Απλή!
Βασικά .....Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...
1. Πρέπει να ισχύει ότι
Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
. Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:
. Πρέπει να ισχύει ότι , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.
2. Η εξίσωση γίνεται:
Για δεν έχουμε λύσεις.
Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.
Επομένως η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.
Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
Bye :')
Re: Απλή!
Συνεπώς αν δεν κανω κάποιο λαθος εκ παραδρομής ισχύει για καθεJimNt. έγραψε:Βασικά .....Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...
1. Πρέπει να ισχύει ότι
Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
. Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:
. Πρέπει να ισχύει ότι , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.
2. Η εξίσωση γίνεται:
Για δεν έχουμε λύσεις.
Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.
Επομένως η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.
Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
Re: Απλή!
Σωστά.ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Συνεπώς αν δεν κανω κάποιο λαθος εκ παραδρομής ισχύει για καθεJimNt. έγραψε:Βασικά .....Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...
1. Πρέπει να ισχύει ότι
Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
. Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:
. Πρέπει να ισχύει ότι , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.
2. Η εξίσωση γίνεται:
Για δεν έχουμε λύσεις.
Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.
Επομένως η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.
Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
Bye :')
Re: Απλή!
Αν τότε:
,
Και έτσι έχουμε δηλαδή
Αν και έχω:
δηλαδή
Μένουν οι περιπτώσεις και που δεν είναι δύσκολες
Έχουμε κάνει χρήση τής ανησοτητας:
Αν με πραγματικούς τότε :
,
Και έτσι έχουμε δηλαδή
Αν και έχω:
δηλαδή
Μένουν οι περιπτώσεις και που δεν είναι δύσκολες
Έχουμε κάνει χρήση τής ανησοτητας:
Αν με πραγματικούς τότε :
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης