Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

για το οποίο ισχύει $b^{2}=ac.$
Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a},$ η διχοτόμος $l_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

STOPJOHN · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 7:58 am
Δίνεται τρίγωνο για το οποίο ισχύει $b^{2}=ac.$
Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a},$ η διχοτόμος $l_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

Eστω ;ότι

$AM=m_{a},BE=l_{b}$ η διάμεσος και διχοτόμος απο τα σημεία A,B

αντίστοιχα ,που τέμνονται στο σημείο

Θα αποδειχθεί ότι η CSN

είναι η

συμμετροδιάμεσος από το

Στο τρίγωνο BNC

με τέμνουσα ASM

από Μενέλαο

$\dfrac{NS}{CS}=\dfrac{AN}{c},(1)$ και απο θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο

$BNC,\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{NB}{a},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AN}{NB}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}$

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η CSN

είναι η συμμετροδιάμεσος απο το

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 7:58 am
Δίνεται τρίγωνο για το οποίο ισχύει $b^{2}=ac.$
Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a},$ η διχοτόμος $l_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

Είναι , $\dfrac{AZ}{ZB}= \dfrac{b^2}{a^2}$ και $\dfrac{BD}{DC}. \dfrac{CE}{EA}. \dfrac{AZ}{ZB}=1. \dfrac{a}{c}. \dfrac{b^2}{a^2}= \dfrac{b^2}{ac} =1$

Άρα με αντίστροφο CEVA οι AD,BE,CZ

συντρέχουν

: συμμετροδιάμεσος-διχοτόμος-διάμεσος.png (5.8 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 7:58 am
Δίνεται τρίγωνο για το οποίο ισχύει $b^{2}=ac.$
Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a},$ η διχοτόμος $l_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

Ας είναι

το σημείο τομής της διχοτόμου $\,\,AD\,\,$ , με την συμμετροδιάμεσο $\,CZ\,$ .

Φέρνω τη

που τέμνει την $BC\,\,$ στο

.

Αρκεί να δείξω ότι το

είναι μέσο του

Από το Θ. $Van\,\,Aubel$ θα έχω: ( με διπλή εφαρμογή Θ. διχοτόμου)

$\boxed{\frac{{AZ}}{{ZB}} + \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AO}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \frac{c}{a} = \frac{{AO}}{{OM}} \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{ac}}{{{a^2}}} = \frac{c}{{BM}}\,\,\,\left( 1 \right)}$

: Συμ_διχ_διαμ_συντρέχουν.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Λόγω τώρα της υπόθεσης η πιο πάνω γράφεται : $\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{c}{{xa}}\,\,,x > 0$ ή ισοδύναμα :

$\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{ac}}{{x{a^2}}}\,\, \Leftrightarrow \dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{x{a^2}}} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{1}{2}}$ δηλαδή το

είναι μέσο του

. ο. ε. δ.

Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Διχοτόμος-Διάμεσος συντρέχουν

Μέλη σε σύνδεση