ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1134
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Μάιος 18, 2022 10:29 am

To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...


Έστω τρίγωνο ABC. Έστω G, L το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία GL είναι παράλληλη στην BC
αν και μόνον αν 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4446
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μάιος 18, 2022 1:11 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 18, 2022 10:29 am
To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...


Έστω τρίγωνο ABC. Έστω G, L το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία GL είναι παράλληλη στην BC
αν και μόνον αν 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Καλημέρα Τηλέμαχε !
Βαρύκεντρο - σημείο Lemoine.png
Βαρύκεντρο - σημείο Lemoine.png (22.34 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Έστω AE,BD οι εκ των A,B συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου \vartriangle ABC αντίστοιχα και ας είναι M το μέσο της BC . Είναι γνωστό ότι \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{EC+EB}{EB}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{a}{EB}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}:\left( 1 \right) και επίσης \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{B{{A}^{2}}}{B{{C}^{2}}}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}:\left( 2 \right) . Με LG\parallel BC\equiv EM\Leftrightarrow \dfrac{LE}{LA}=\dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2}:\left( 3 \right)

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AEC με διατέμνουσα την DLB θα έχουμε : \dfrac{DA}{DC}\cdot \dfrac{BC}{EB}\cdot \dfrac{LE}{LA}=1\overset{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow 2a{}^{2}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11550
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 18, 2022 4:30 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τετ Μάιος 18, 2022 10:29 am
To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...


Έστω τρίγωνο ABC. Έστω G, L το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία GL είναι παράλληλη στην BC
αν και μόνον αν 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Χαιρετώ!

Στο σχήμα του Στάθη. Από γνωστή πρόταση \displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} (θα το αποδείξω αργότερα).

Έχουμε λοιπόν, \displaystyle GL||BC \Leftrightarrow \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{AG}}{{GM}} \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} = 2 \Leftrightarrow 2{a^2} = {b^2} + {c^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11550
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 18, 2022 5:48 pm

Αν AE είναι η A-συμμετροδιάμεσος τριγώνου ABC και L το σημείο Lemoine, θα δείξω ότι \displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}.
Σημείο Lemoine.png
Σημείο Lemoine.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Φέρνω και τις άλλες δύο συμμετροδιαμέσους BF, CZ και από θεώρημα Van Aubel έχω:

\displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{AZ}}{{ZB}} + \frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}}

Κυκλικά ισχύει και για τις άλλες συμμετροδιαμέσους.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1134
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μάιος 19, 2022 1:06 pm

Να ευχαριστήσω τόσο το Στάθη Κούτρα όσο και το Γιώργο Βισβίκη για τις λύσεις τους.

Η λύση που σκέφτηκα ήταν ίδια με αυτή του Γιώργου.

Ο Γιώργος σε μια παλαιότερη δημοσίευσή του είχε αποδείξει ότι όταν ισχύει η ισότητα
2a^{2}=b^{2}+c^{2} σε τρίγωνο ABC τότε
η κορυφή A, το μέσο της πλευράς AB, το μέσο της πλευράς AC,
το βαρύκεντρο G και το σημείο Lemoine L είναι ομοκυκλικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης