ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...

Έστω τρίγωνο ABC

. Έστω

το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία

είναι παράλληλη στην

αν και μόνον αν $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 10:29 am
To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...

Έστω τρίγωνο . Έστω το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία είναι παράλληλη στην
αν και μόνον αν $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Καλημέρα Τηλέμαχε !

: Βαρύκεντρο - σημείο Lemoine.png (22.34 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

Έστω

οι εκ των

συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα και ας είναι

το μέσο της

. Είναι γνωστό ότι $\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{EC+EB}{EB}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{a}{EB}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}:\left( 1 \right)$ και επίσης $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{B{{A}^{2}}}{B{{C}^{2}}}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}:\left( 2 \right)$ . Με $LG\parallel BC\equiv EM\Leftrightarrow \dfrac{LE}{LA}=\dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2}:\left( 3 \right)$

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AEC$ με διατέμνουσα την DLB

θα έχουμε : $\dfrac{DA}{DC}\cdot \dfrac{BC}{EB}\cdot \dfrac{LE}{LA}=1\overset{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow 2a{}^{2}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 10:29 am
To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
που ουδέποτε διδασκόταν...

Έστω τρίγωνο . Έστω το βαρύκεντρο
και το σημείο Lemoine του τριγώνου αυτού αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι η ευθεία είναι παράλληλη στην
αν και μόνον αν $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Χαιρετώ!

Στο σχήμα του Στάθη. Από γνωστή πρόταση $\displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}$ (θα το αποδείξω αργότερα).

Έχουμε λοιπόν, $\displaystyle GL||BC \Leftrightarrow \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{AG}}{{GM}} \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} = 2 \Leftrightarrow 2{a^2} = {b^2} + {c^2}$

#4

Αν

είναι η

συμμετροδιάμεσος τριγώνου ABC

και

το σημείο Lemoine, θα δείξω ότι $\displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}.$

: Σημείο Lemoine.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Φέρνω και τις άλλες δύο συμμετροδιαμέσους BF, CZ

και από θεώρημα Van Aubel έχω:

$\displaystyle \frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{AZ}}{{ZB}} + \frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{LA}}{{LE}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}}$

Κυκλικά ισχύει και για τις άλλες συμμετροδιαμέσους.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Να ευχαριστήσω τόσο το Στάθη Κούτρα όσο και το Γιώργο Βισβίκη για τις λύσεις τους.

Η λύση που σκέφτηκα ήταν ίδια με αυτή του Γιώργου.

Ο Γιώργος σε μια παλαιότερη δημοσίευσή του είχε αποδείξει ότι όταν ισχύει η ισότητα
$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ σε τρίγωνο ABC

τότε
η κορυφή

, το μέσο της πλευράς

,
το βαρύκεντρο

και το σημείο Lemoine

είναι ομοκυκλικά.

ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Re: ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ- ΣΗΜΕΙΟ LEMOINE

Μέλη σε σύνδεση