- mix_S.png (23.4 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές
Από βιβλίο Ασκήσεων του I.F.Sharygin
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Από βιβλίο Ασκήσεων του I.F.Sharygin
Έστω κύκλος που εφάπτεται της πλευράς τριγώνου σε σημείο και του περιγεγραμμένου κύκλου του (το σημείο επαφής στο τόξο ). Η ευθεία , όπου το έγκεντρο του τριγώνου , τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του . Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παράλληλη από το της εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από βιβλίο Ασκήσεων του I.F.Sharygin
α) Έστω Η εφαπτόμενη στον κύκλο κέντρου (που εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου στο και στην πλευρά του στο ) και η διχοτόμος της γωνίας (προφανώς το είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το ) και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι το να ταυτίζεται με το έγκεντρο του τριγώνου .giannimani έγραψε: ↑Τρί Απρ 19, 2022 2:32 pmmix_S.pngΈστω κύκλος που εφάπτεται της πλευράς τριγώνου σε σημείο και του περιγεγραμμένου κύκλου του (το σημείο επαφής στο τόξο ). Η ευθεία , όπου το έγκεντρο του τριγώνου , τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του . Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η παράλληλη από το της εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του .
Με (κάθετες στην ) και συνευθειακά (οι εφάπτονται στο και συνευθειακά.
Από την προφανή ομοιότητα των ισοσκελών (λόγω των ακτινών) τριγώνων , με (έχουν μια κοινή γωνία την ) θα είναι
Από ομοκυκλικά και συνεπώς εφαπτόμενο τμήμα στον περίκυκλο του τριγώνου και με (τα τόξα είναι ίσα από τη διχοτόμο της ) προκύπτει ότι εφαπτόμενο τμήμα στον περίκυκλο του τριγώνου και συνεπώς (αφού το είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας θα είναι το έγκεντρο του τριγώνου (γνωστότατη πρόταση ) και το ισοδύναμο του α) ζητουμένου έχει αποδειχθεί .
β) Έστω το δεύτερο (εκτός του ) εφαπτόμενο τμήμα του από το και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι .
Αν τότε (εφαπτόμενα τμήματα του (εντός εναλλάξ...) και το ισοδύναμο του β) ζητουμένου έχει αποδειχθεί .
Στάθης
Υ.Σ. Γιάννη θα με ενδιέφερε πολύ να μάθω τη λύση του Συγγραφέα ή κάποια διαφορετική (ίσως δική σου) γιατί ομολογώ ότι η πρόταση με παίδεψε λιγουλάκι
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από βιβλίο Ασκήσεων του I.F.Sharygin
Συμβολίζουμε με το σημείο τομής των και , και τον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Έστω το σημείο επαφής του κύκλου με το τόξο του , το μέσο του τόξου του .
Η ευθεία διέρχεται από το . Η ευθεία διέρχεται από το (Λήμμα Αρχιμήδη).
Οι γωνίες και είναι ίσες (Οι αντίστοιχες επίκεντρες , στους κύκλους , αντίστοιχα,
είναι ίσες, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την ).
Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι τα σημεία , , , ανήκουν στον ίδιο κύκλο, και επομένως .
Επιπλέον, (ιδιότητα έγκεντρου τριγώνου). Τα τρίγωνα και είναι όμοια (, ).
Επομένως, . Από αυτό προκύπτει ότι, τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Ως εκ τούτου , από το οποίο προκύπτει η επαφή της με τον κύκλο .
Τώρα, εύκολα αποδεικνύεται ότι η παράλληλη από το της εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Πράγματι, (το τρίγωνο ισοσκελές).
Λόγω της παραλληλίας είναι .
Επομένως, η διχοτόμος της γωνίας , και εφόσον ο κύκλος εφάπτεται της ,
θα εφάπτεται και της .
Υ.Γ. Όπως αναφέρει ο συγγραφέας η μέθοδος απόδειξης είναι του Β. Γ. Προτασόφ (Γνωστός Ρώσος Γεωμέτρης από τα πολλά άρθρα
που έχει συγγράψει για το περιοδικό ΚΒΑΝΤ).
Έστω το σημείο επαφής του κύκλου με το τόξο του , το μέσο του τόξου του .
Η ευθεία διέρχεται από το . Η ευθεία διέρχεται από το (Λήμμα Αρχιμήδη).
Οι γωνίες και είναι ίσες (Οι αντίστοιχες επίκεντρες , στους κύκλους , αντίστοιχα,
είναι ίσες, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την ).
Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι τα σημεία , , , ανήκουν στον ίδιο κύκλο, και επομένως .
Επιπλέον, (ιδιότητα έγκεντρου τριγώνου). Τα τρίγωνα και είναι όμοια (, ).
Επομένως, . Από αυτό προκύπτει ότι, τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Ως εκ τούτου , από το οποίο προκύπτει η επαφή της με τον κύκλο .
Τώρα, εύκολα αποδεικνύεται ότι η παράλληλη από το της εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Πράγματι, (το τρίγωνο ισοσκελές).
Λόγω της παραλληλίας είναι .
Επομένως, η διχοτόμος της γωνίας , και εφόσον ο κύκλος εφάπτεται της ,
θα εφάπτεται και της .
Υ.Γ. Όπως αναφέρει ο συγγραφέας η μέθοδος απόδειξης είναι του Β. Γ. Προτασόφ (Γνωστός Ρώσος Γεωμέτρης από τα πολλά άρθρα
που έχει συγγράψει για το περιοδικό ΚΒΑΝΤ).
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από βιβλίο Ασκήσεων του I.F.Sharygin
Ευχαριστώ Γιάννη
Απο οτι φαίνεται δεν έχουμε και ουσιαστικές διαφορές με τον Προτασόφ
Απο οτι φαίνεται δεν έχουμε και ουσιαστικές διαφορές με τον Προτασόφ
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης