Δύο κάθετες
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Δύο κάθετες
Έστω τρίγωνο και ας είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλου του με τις πλευρές αντίστοιχα και το δεύτερο (εκτός του ) σημείου τομής της με τον . Να δείξετε ότι , όπου είναι το συμμετρικό του μέσου του τμήματος ως προς την
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Δύο κάθετες
Επαναφορά
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Δύο κάθετες
Αναδιατυπώνουμε το πρόβλημα (για ευκολία) στο ισοδύναμό του ως εξής:
Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου , και έστω το μέσο της πλευράς
. ΟΙ εφαπτομένες του κύκλου στα , τέμνονται στο σημείο . Αν το
συμμετρικό του ως προς την , να αποδείξετε ότι . Δίνουμε και το σχήμα του αρχικού προβλήματος, ώστε να φαίνεται το ταυτόσημο των δύο προβλημάτων. Θα εργαστούμε στο 2ο σχήμα.
Στο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Επίσης, στο τρίγωνο αυτό η είναι η ευθεία της
συμμετροδιαμέσου , η διάμεσος, και ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του.
Έστω ότι τα σημεία , είναι τα συμμετρικά του ως προς τις πλευρές
, του τριγώνου αντίστοιχα. Έστω επίσης .
Τότε, (γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου - διαμέσου).
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε ,
και . Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Είναι γνωστό ότι το ύψος με την ακτίνα , όπως και η διάμεσος με τη
συμμετροδιάμεσο , είναι ευθείες ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας .
Ως εκ τούτου,. Αλλά, (εντός εναλλάξ)
Από τις (3) και (4) έχουμε , και εφόσον έχουν κοινή τη γωνία ,
θα είναι όμοια, οπότε και .
Είναι . Πράγματι, .
. Από τις δύο αυτές ισότητες προκύπτει ότι .
Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Αρκεί
Πράγματι, (εφόσον και ).
Η τελευταία ισότητα λόγων ισχύει από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων και .
Επομένως, τα τρίγωνα και είναι όμοια, οπότε
και .
Από την τελευταία έχουμε .
Από αυτό προκύπτει ότι και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, και ως εκ τούτου
. Από (1) και (7) έχουμε (λόγω και της (5)).
Εφόσον , τότε , οπότε , και λόγω της (4) ,
δηλαδή, η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου .
Ως εκ τούτου, , από την οποία προκύπτει ότι το τρίγωνο
είναι ορθογώνιο, δηλαδή, .
Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου , και έστω το μέσο της πλευράς
. ΟΙ εφαπτομένες του κύκλου στα , τέμνονται στο σημείο . Αν το
συμμετρικό του ως προς την , να αποδείξετε ότι . Δίνουμε και το σχήμα του αρχικού προβλήματος, ώστε να φαίνεται το ταυτόσημο των δύο προβλημάτων. Θα εργαστούμε στο 2ο σχήμα.
Στο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Επίσης, στο τρίγωνο αυτό η είναι η ευθεία της
συμμετροδιαμέσου , η διάμεσος, και ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του.
Έστω ότι τα σημεία , είναι τα συμμετρικά του ως προς τις πλευρές
, του τριγώνου αντίστοιχα. Έστω επίσης .
Τότε, (γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου - διαμέσου).
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε ,
και . Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Είναι γνωστό ότι το ύψος με την ακτίνα , όπως και η διάμεσος με τη
συμμετροδιάμεσο , είναι ευθείες ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας .
Ως εκ τούτου,. Αλλά, (εντός εναλλάξ)
Από τις (3) και (4) έχουμε , και εφόσον έχουν κοινή τη γωνία ,
θα είναι όμοια, οπότε και .
Είναι . Πράγματι, .
. Από τις δύο αυτές ισότητες προκύπτει ότι .
Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Αρκεί
Πράγματι, (εφόσον και ).
Η τελευταία ισότητα λόγων ισχύει από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων και .
Επομένως, τα τρίγωνα και είναι όμοια, οπότε
και .
Από την τελευταία έχουμε .
Από αυτό προκύπτει ότι και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, και ως εκ τούτου
. Από (1) και (7) έχουμε (λόγω και της (5)).
Εφόσον , τότε , οπότε , και λόγω της (4) ,
δηλαδή, η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου .
Ως εκ τούτου, , από την οποία προκύπτει ότι το τρίγωνο
είναι ορθογώνιο, δηλαδή, .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Δύο κάθετες
Νομίζω πως είναι απλό για τον φάκελο, στην πραγματικότητα το μισό σχήμα είναι παραπλανητικό:ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 19, 2021 11:38 amΔύο κάθετες.png
Έστω τρίγωνο και ας είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλου του με τις πλευρές αντίστοιχα και το δεύτερο (εκτός του ) σημείου τομής της με τον . Να δείξετε ότι , όπου είναι το συμμετρικό του μέσου του τμήματος ως προς την
Έστω ύψος στο . Τότε και επίσης (αφού παραλληλόγραμμο ) .
Παρατηρούμε πως έτσι όμοια. Τώρα ( συμμετροδιάμεσος)
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Δύο κάθετες
Πρόδρομε, σ' ευχαριστώ θερμά για την λύση σου.
Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, μαθαίνουμε κυρίως από τους άλλους. Από αυτούς που προηγήθηκαν, από αυτούς που μαζί πορευτήκαμε, αλλά ( για μένα το σπουδαιότερο ) και απο τους νεότερους που ορμητικά μας προσπερνάνε.
Με εκτίμηση, Κώστας βήττας.
Όπως έχω πει με άλλη ευκαιρία, μαθαίνουμε κυρίως από τους άλλους. Από αυτούς που προηγήθηκαν, από αυτούς που μαζί πορευτήκαμε, αλλά ( για μένα το σπουδαιότερο ) και απο τους νεότερους που ορμητικά μας προσπερνάνε.
Με εκτίμηση, Κώστας βήττας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Δύο κάθετες
Συγχαρητήρια Πρόδρομε για την εξαιρετική σου ιδέα. "Όλα τα λεφτά" που λέμε είναι η προβολή του πάνω στην . Το ότι βρίσκουμε μια σύντομη λύση δεν κάνει το πρόβλημα απλό. Άλλωστε η μαγεία της Γεωμετρίας έγκειται ακριβώς εκεί, δηλαδή να ανακαλύψει μία βοηθητική γραμμή.
Προσωπικά με δυσκόλεψε πολύ μέχρι να καταλήξω σε μία παραπλήσια λύση και μία γενίκευση.
Δεν είναι απαραίτητο η DK να διέρχεται από το Α.
Από την ομοιότητα των τριγώνων λόγω της ισότητας προκύπτει η ομοιότητα καθώς , ενώ οι πλευρές είναι κάθετες προς τις αντίστοιχα.
Επομένως η τελευταία ομοιότητα είναι μετασχηματισμός ορθογώνιας στροφής, οπότε
Προσωπικά με δυσκόλεψε πολύ μέχρι να καταλήξω σε μία παραπλήσια λύση και μία γενίκευση.
Δεν είναι απαραίτητο η DK να διέρχεται από το Α.
Από την ομοιότητα των τριγώνων λόγω της ισότητας προκύπτει η ομοιότητα καθώς , ενώ οι πλευρές είναι κάθετες προς τις αντίστοιχα.
Επομένως η τελευταία ομοιότητα είναι μετασχηματισμός ορθογώνιας στροφής, οπότε
- Συνημμένα
-
- untitled.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης