Πρόκειται για το πρόβλημα 2052 του Mathematics Magazine, που προτάθηκε τον Οκτώβριο 2018 από τον
Michel Bataillle, με λύση στο τ. 4, σελ. 313, τον Οκτώβριο, 2019.
Ακολουθεί η λύση που είχα στείλει:
Λύση: Παρατηρούμε ότι
, οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα
,
είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με
, ενώ οι πλευρές του
είναι παράλληλες στις πλευρές του
Επίσης, τα τρίγωνα
και
έχουν το ίδιο ύψος από το
στην
, οπότε
Αφού
, εάν ήταν
, τότε το
θα ήταν όμοιο με το τρίγωνο
με
. Όμως, αυτό δεν μπορεί να ισχύει ανεξάρτητα από το που βρίσκεται το
στην ευθεία
με
επειδή το τρίγωνο
είναι σκαληνό. Επομένως
και οι ευθείες
και
τέμνονται σε ένα σημείο, έστω το
. Το
είναι το κέντρο ομοιοθεσίας με λόγο
που απεικονίζει το
στο
οπότε
Επιπλέον, είναι
και έτσι
αφού τα τρίγωνα
και
έχουν το ίδιο ύψος από το
προς την
, και
. Πολ/ντας τις (1) και (2) παίρνουμε
Συνεπώς, το
είναι ένα σημείο ανεξάρτητο της επιλογής το
και η απόδειξη μας είναι πλήρης.
Σχόλιο: Έστω ότι η
συμμετροδιάμεσος του
τέμνει την
στο
. Είναι γνωστό ότι
οπότε, από την τελευταία ισότητα αποδεικνύει ότι το
είναι το αρμονικό συζυγές του
ως προς το
και το
.