Σταθερό σημείο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Σταθερό σημείο
Έστω ένα σκαληνό τρίγωνο. Έστω ένα μεταβλητό σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε και . Έστω σημείο στην ώστε η να είναι η ανάκλαση της ως προς την διχοτόμο της γωνίας . Έστω , τα περίκεντρα των τριγώνων and , αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα σημείο , ανεξάρτητο από την επιλογή του , τέτοιο ώστε η ευθεία να διέρχεται από το
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Σταθερό σημείο
achilleas έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 10, 2021 10:02 amΈστω ένα σκαληνό τρίγωνο. Έστω ένα μεταβλητό σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε και . Έστω σημείο στην ώστε η να είναι η ανάκλαση της ως προς την διχοτόμο της γωνίας . Έστω , τα περίκεντρα των τριγώνων and , αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα σημείο , ανεξάρτητο από την επιλογή του , τέτοιο ώστε η ευθεία να διέρχεται από το
Κουνάω το στην . Έτσι έχω την προβολική σύνδεση .
Έστω επίσης μέσον του και μέσον του .
Τότε και είναι προβολικότητες. Το είναι η τομή της κάθετης από το στην με την μεσοκάθετο του . Έτσι προβολικότητα . Όμοια προβολικότητα.
Έχω λοιπόν την προβολική σύνδεση:
με τα να κινούνται σε σταθερές ευθείες. Είναι απλό ότι όταν το ένα γίνει περίκεντρο γίνεται και το άλλο, κατά τα γνωστά λοιπόν η διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο δεν χρειάστηκε καν να βρούμε....η δύναμη της προβολικής
Re: Σταθερό σημείο
Εστω ότι .achilleas έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 10, 2021 10:02 amΈστω ένα σκαληνό τρίγωνο. Έστω ένα μεταβλητό σημείο στην ευθεία τέτοιο ώστε και . Έστω σημείο στην ώστε η να είναι η ανάκλαση της ως προς την διχοτόμο της γωνίας . Έστω , τα περίκεντρα των τριγώνων and , αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα σημείο , ανεξάρτητο από την επιλογή του , τέτοιο ώστε η ευθεία να διέρχεται από το
Θεωρούμε,αρχικά,ότι το είναι εσωτερικό σημείο της .
Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Επειδή και το είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο έχουμε ότι
και .
Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες οπότε είναι ομοιόθετα και το κέντρο της ομοιοθεσίας,έστω ,είναι η τομή των και .Η ομοιοθεσία αυτή στέλνει το περίκεντρο του ενός τριγώνου στο περίκεντρο του άλλου οπότε το ανήκει στην ευθεία .
Επειδή και το είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο έχουμε ότι δηλαδή η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και άρα το είναι σταθερό σημείο.Παρατηρούμε ακόμη ότι τα και είναι τα ομοιόθετα των και αντίστοιχα οπότε και άρα η εφάπτεται και στον περίκυκλο του τριγωνου το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο και στην περίπτωση που το βρίσκεται στο εξωτερικό της αφού τότε θα έχουμε ένα σχήμα ίδιο με το αρχικό στο οποίο απλά έχουν εναλλαχθεί τα και .
Re: Σταθερό σημείο
Πρόκειται για το πρόβλημα 2052 του Mathematics Magazine, που προτάθηκε τον Οκτώβριο 2018 από τον Michel Bataillle, με λύση στο τ. 4, σελ. 313, τον Οκτώβριο, 2019.
Ακολουθεί η λύση που είχα στείλει:
Λύση: Παρατηρούμε ότι , οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα , είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με , ενώ οι πλευρές του είναι παράλληλες στις πλευρές του Επίσης, τα τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος από το στην , οπότε
Αφού , εάν ήταν , τότε το θα ήταν όμοιο με το τρίγωνο με . Όμως, αυτό δεν μπορεί να ισχύει ανεξάρτητα από το που βρίσκεται το στην ευθεία με επειδή το τρίγωνο είναι σκαληνό. Επομένως και οι ευθείες και τέμνονται σε ένα σημείο, έστω το . Το είναι το κέντρο ομοιοθεσίας με λόγο που απεικονίζει το στο οπότε
Επιπλέον, είναι και έτσι
αφού τα τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος από το προς την , και . Πολ/ντας τις (1) και (2) παίρνουμε
Συνεπώς, το είναι ένα σημείο ανεξάρτητο της επιλογής το και η απόδειξη μας είναι πλήρης.
Σχόλιο: Έστω ότι η συμμετροδιάμεσος του τέμνει την στο . Είναι γνωστό ότι οπότε, από την τελευταία ισότητα αποδεικνύει ότι το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς το και το .
Ακολουθεί η λύση που είχα στείλει:
Λύση: Παρατηρούμε ότι , οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα , είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με , ενώ οι πλευρές του είναι παράλληλες στις πλευρές του Επίσης, τα τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος από το στην , οπότε
Αφού , εάν ήταν , τότε το θα ήταν όμοιο με το τρίγωνο με . Όμως, αυτό δεν μπορεί να ισχύει ανεξάρτητα από το που βρίσκεται το στην ευθεία με επειδή το τρίγωνο είναι σκαληνό. Επομένως και οι ευθείες και τέμνονται σε ένα σημείο, έστω το . Το είναι το κέντρο ομοιοθεσίας με λόγο που απεικονίζει το στο οπότε
Επιπλέον, είναι και έτσι
αφού τα τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος από το προς την , και . Πολ/ντας τις (1) και (2) παίρνουμε
Συνεπώς, το είναι ένα σημείο ανεξάρτητο της επιλογής το και η απόδειξη μας είναι πλήρης.
Σχόλιο: Έστω ότι η συμμετροδιάμεσος του τέμνει την στο . Είναι γνωστό ότι οπότε, από την τελευταία ισότητα αποδεικνύει ότι το είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς το και το .
- Συνημμένα
-
- bataille_1.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
-
- bataille_2.png (23.87 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 1 επισκέπτης