ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Τις τελευταίες μέρες με απασχόλησαν κάποιες σκέψεις που με οδήγησαν στο παρακάτω θέμα.
Κατανοώ ότι αρκετοί μόλις το δουν θα προχωρήσουν σε κάτι άλλο, η Στερεομετρία δεν είναι της μόδας...
Το δημοσιεύω γιατί πιστεύω ότι κάτι αξίζει...
Άλλωστε τα μαθηματικά δεν χάνουν την αξία τους, μπορεί κάποια θέματα να είναι εκτός σχολικής εξέτασης αλλά εξακολουθούν να είναι πολύτιμα.
Σαν το παλιό κρασί που μένει για πολλά χρόνια σε κάποιο βαρέλι, αυτός που θα το δοκιμάσει θα το απολαύσει πολύ...

Δίνεται κύκλος κέντρου

και ακτίνας $\rho .$ Έστω $\left ( \varepsilon \right )$ ο η εφαπτομένη του κύκλου στο σταθερό σημείο του

Να ορισθεί η θέση της διαμέτρου $BO\Gamma$ έτσι ώστε αν σχεδιαστούν οι $BB',\Gamma \Gamma '$ κάθετοι στην $\left ( \varepsilon \right )$ , η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου που γράφεται από το τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'B'B$ στρεφόμενο περί την $B' \Gamma '$ να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}.$

ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΗ ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ
To να ζητήσω η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}$ ήταν μια ατυχής και λανθασμένη απόφαση. Αυτό φαίνεται από τη λύση του Νίκου Μαυρογιάννη. To σωστό θα ήταν να γράψω $k\pi \rho ^{2}.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:28 am
...
Δίνεται κύκλος κέντρου και ακτίνας $\rho .$ Έστω $\left ( \varepsilon \right )$ ο η εφαπτομένη του κύκλου στο σταθερό σημείο του Να ορισθεί η θέση της διαμέτρου $BO\Gamma$ έτσι ώστε αν σχεδιαστούν οι $BB',\Gamma \Gamma '$ κάθετοι στην $\left ( \varepsilon \right )$ , η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου που γράφεται από το τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'B'B$ στρεφόμενο περί την $B' \Gamma '$ να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}.$

: tcone.png (39.15 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Γεια σας. Αρκεί να προσδιορίσουμε την γωνία $\theta$ που σχηματίζει η διάμετρος με την εφαπτομένη.
Ο εκ περιστροφής κόλουρος κώνος θα έχει, όπως εύκολα υπολογίζεται, ακτίνες βάσεων τις $R_{1}=\rho \left( 1+\sin \theta \right)$ και $R_{2}=\rho \left( 1-\sin \theta \right)$ και πλευρά $\lambda =2\rho$ . Η επιφάνεια του θα είναι:
$E_{o\lambda }=\pi \left( R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right) +\pi \left( R_{1}+R_{2}\right) \lambda =\allowbreak 2\pi \rho ^{2}\left( 3+\sin ^{2}\theta \right)$ .
Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος θα είναι τότε $\sin ^{2}\theta =\frac{E_{o\lambda }-6\pi \rho ^{2}}{2\pi \rho ^{2}}$ και πρέπει $6\pi \rho ^{2}<E_{o\lambda }<8\pi \rho ^{2}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Ήδη έγραψα ότι δεν ήταν σωστό να ζητήσω η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}$ , κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει...
Θέλω όμως να γράψω τις σκέψεις που με οδήγησαν στο θέμα αυτό και μέσα από αυτές θα φανεί κι αυτό που έγραψε παραπάνω ο Νίκος Μαυρογιάννης, ότι $6\pi \rho ^{2}<E_{o\lambda }<8\pi \rho ^{2}$ .
Επίσης θέλω να αναγνωρίσω ότι η λύση του Νίκου είναι πολύ αποτελεσματική.
Nίκο ευχαριστώ που ασχολήθηκες...

$E_{o\lambda }=\pi \left ( BB'+\Gamma \Gamma ' \right ) B\Gamma +\pi BB'^{2}+\pi \Gamma \Gamma '^{2}$

Στο τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'ββ'$ η

είναι διάμεσος, άρα $BB'+\Gamma \Gamma '=2OA=2\rho$
και έτσι μπορεί να γραφεί ότι

$E_{o\lambda }=\pi 2\rho2 \rho +\pi BB'^{2}+\pi \Gamma \Gamma '^{2}=$

$4\pi \rho ^{2}+\pi \left [ \left ( BB'+\Gamma \Gamma ' \right )^{2} -2BB'\cdot \Gamma \Gamma '\right ]=$

$4\pi \rho ^{2}+\pi \left [ \left ( 2\rho \right )^{2}-2BB'\cdot \Gamma \Gamma '\right ]=$

$8 \pi \rho ^{2}-2\pi BB'\cdot \Gamma \Gamma '$

Όμως από το ορθογώνιο τρίγωνο $BP\Gamma$ βρίσκεται ότι

$BP^{2}+P\Gamma ^{2}=B\Gamma ^{2}\Leftrightarrow B'\Gamma '^{2}+\left ( \Gamma \Gamma '-BB' \right )^{2}=4\rho ^{2}\Leftrightarrow$

$B'\Gamma '^{2}+\Gamma \Gamma '^{2}-2BB'\cdot \Gamma \Gamma '+BB'^{2}=4\rho ^{2}\Leftrightarrow$

$B'\Gamma '^{2}+\left ( BB'+\Gamma \Gamma ' \right )^{2}-2BB'\cdot \Gamma \Gamma '-2BB'\cdot \Gamma \Gamma '=4\rho ^{2}\Leftrightarrow$

$B'\Gamma '^{2}+\left ( 2\rho \right )^{2}-4BB'\cdot \Gamma \Gamma '=4\rho ^{2}\Leftrightarrow$

$B'\Gamma '^{2}=4BB'\cdot \Gamma \Gamma '$

Mε χρήση της τελευταίας ισότητας βλέπουμε ότι ισχύει

$\displaystyle E_{o\lambda }=8 \pi \rho ^{2}-\pi\frac{B'\Gamma '^{2}}{2}$

Ας το δούμε πιο γενικά, ας πούμε ότι η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου είναι ίση με $k \pi \rho ^{2}.$

Συνεπώς μπορώ να γράψω

$\displaystyle k \pi \rho ^{2}=8 \pi \rho ^{2}-\pi\frac{B'\Gamma '^{2}}{2}$

που ισοδυναμεί με

$\displaystyle B'\Gamma '^{2}=2\left ( 8-k \right )\rho ^{2}$

Eδώ προκύπτει ότι k<8.

O άλλος περιορισμός για το

προκύπτει αν σκεφτούμε ότι $B'\Gamma '<B\Gamma$

δηλαδή $\sqrt{2\left ( 8-k \right ) }\rho < 2\rho \Leftrightarrow k > 6$

Aπό τον ενθουσιασμό μου για το θέμα αυτό, δεν σκέφτηκα αυτόν τον δεύτερο περιορισμό. Έτσι προέκυψε το λάθος...

Για να δώσω απάντηση στο ερώτημα του θέματος, βρέθηκε ότι $B'\Gamma '=\sqrt{2\left ( 8-k \right ) }\rho.$

Έτσι επί της $\left ( \varepsilon \right )$ διαλέγω τo σημείo

έτσι ώστε $\displaystyle AB'=\frac{\sqrt{2\left ( 8-k \right ) }\rho }{2}$

Kατόπιν στο

φέρω κάθετη που τέμνει τον κύκλο στo

. Βρίσκω το αντιδιαμετρικό του

και το ονομάζω $\Gamma.$

Η $B\Gamma$ είναι η ζητουμένη διάμετρος.

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:28 am
Τις τελευταίες μέρες με απασχόλησαν κάποιες σκέψεις που με οδήγησαν στο παρακάτω θέμα.
Κατανοώ ότι αρκετοί μόλις το δουν θα προχωρήσουν σε κάτι άλλο, η Στερεομετρία δεν είναι της μόδας...
Το δημοσιεύω γιατί πιστεύω ότι κάτι αξίζει...
Άλλωστε τα μαθηματικά δεν χάνουν την αξία τους, μπορεί κάποια θέματα να είναι εκτός σχολικής εξέτασης αλλά εξακολουθούν να είναι πολύτιμα.
Σαν το παλιό κρασί που μένει για πολλά χρόνια σε κάποιο βαρέλι, αυτός που θα το δοκιμάσει θα το απολαύσει πολύ...

Δίνεται κύκλος κέντρου και ακτίνας $\rho .$ Έστω $\left ( \varepsilon \right )$ ο η εφαπτομένη του κύκλου στο σταθερό σημείο του Να ορισθεί η θέση της διαμέτρου $BO\Gamma$ έτσι ώστε αν σχεδιαστούν οι $BB',\Gamma \Gamma '$ κάθετοι στην $\left ( \varepsilon \right )$ , η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου που γράφεται από το τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'B'B$ στρεφόμενο περί την $B' \Gamma '$ να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}.$

ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΗ ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ
To να ζητήσω η ολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου να είναι ίση με $4\pi \rho ^{2}$ ήταν μια ατυχής και λανθασμένη απόφαση. Αυτό φαίνεται από τη λύση του Νίκου Μαυρογιάννη. To σωστό θα ήταν να γράψω $k\pi \rho ^{2}.$

Τηλέμαχε και Νίκο καλημέρα και καλό μήνα...

Μετά τη διευκρίνηση του Τηλέμαχου αναρτώ και μια άλλη διαπραγμάτευση με τη βοήθεια του τριωνύμου.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κόλουρος κώνος 1.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Η περιστροφή της διαμέτρου $\displaystyle{B\Gamma}$ γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{Ox}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{2\pi}$ είναι

η κυρτή επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κόλουρος κώνος 5.png (45.77 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Η κυρτή επιφάνεια του κόλουρου αυτού κώνου είναι ίση με $\displaystyle{4\pi r^2 }$ και αν σ' αυτήν προστεθούν τα εμβαδά

των δύο βάσεων τότε η ολική του επιφάνεια θα είναι:

$\displaystyle{E_{1}=4 \pi r^2 +\pi(m^2+n^2) \ \ (1) }$

όπου:

$\displaystyle{m=BB' , \ \ n=\Gamma \Gamma' }$

και για τα τμήματα αυτά προφανώς ισχύει:

$\displaystyle{ S=m+n=2r \ \ (2) }$

Στο πρόβλημα αυτό μας ζητάει να ισχύει:

$\displaystyle{E_1=k \pi r^2 \ \ (3) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{4 \pi r^2+\pi(m^2+n^2)=k \pi r^2 }$

ή μετά πράξεις και με τη βοήθεια της (2), θα είναι:

$\displaystyle{ P= mn=\frac{(8-k)r^2}{2} \ \ (4) }$

Οι εξισώσεις (1) και (4) μα οδηγούν στη λύση του τριωνύμου της μορφής:

$\displaystyle{w^2 -Sw+P=0}$

δηλαδή του τριωνύμου:

$\displaystyle{w^2-2rw+\frac{(8-k)r^2}{2}=0 \ \ (5)}$

Για να έχει η εξίσωση αυτή δυο ρίζες πραγματικές και μάλιστα μη αρνητικές θα πρέπει:

$\displaystyle{D\geq 0, \ \ P \geq 0 \ \ (6) }$

Από τις συνθήκες (6) προκύπτει:

$\displaystyle{D=(-12+2k)r^2 \geq0 \Rightarrow k\geq 6 \ \ (7)}$

και

$\displaystyle{P=\frac{(8-k)r^2}{2} \geq 0 \Rightarrow k \leq 8 \ \ (8) }$

Άρα για το συντελεστή $\displaystyle{k}$ πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{ 6 \leq k \leq 8 \ \ (9) }$

Αν $\displaystyle{k=6}$ τότε ο κόλουρος κώνος γίνεται κύλινδρος με ακτίνα βάσης $\displaystyle{r}$ και ύψος $\displaystyle{2r}$ .
Αν $\displaystyle{k=8}$ τότε ο κόλουρος κώνος γίνεται κύκλος με ακτίνα ίση με $\displaystyle{2r}$

Οι οριακές περιπτώσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα:

Για $\displaystyle{k=6}$

: Κόλουρος κώνος 3.png (52.82 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Για $\displaystyle{k=8}$

: Κόλουρος κώνος 4.png (68.19 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Κώστας Δόρτσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Κώστα, σε ευχαριστώ πολύ για τα σχήματα...
Έχεις αναδείξει αρκετά θέματα μέσα από αυτά τα σχήματα.
Να ξέρεις ότι ο κόπος και ο χρόνος σου χαίρουν εκτίμησης.

ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ

Μέλη σε σύνδεση