R^3 ΚΑΙ ΠΑΛΙ

S.E.Louridas · #1

Να τμηθεί πρισματική επιφάνεια κατά τρίγωνο όμοιο προς δοθέν.

#2

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 24, 2021 10:51 pm
Να τμηθεί πρισματική επιφάνεια κατά τρίγωνο όμοιο προς δοθέν.

Σωτήρη καλησπέρα....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Πρίσμα και όμοιο τρίγωνο 1.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε ένα ορθό τριγωνικό πρίσμα $\displaystyle{ABCA_1B_1C_1}$ ,
το οποίο προήλθε από την δοθείσα πρισματική επιφάνεια(τριγωνική ή και
πολυγωνική γενικότερα).

Ακόμα βλέπουμε το δοθέν τρίγωνο $\displaystyle{M_oN_oS_o}$ .

Έστω τώρα ότι το τρίγωνο $\displaystyle{(SMN)}$ όπου $\displaystyle{S \equiv{A}}$ είναι το ζητούμενο.

Δηλαδή $\displaystyle{(SMN)}$ όμοιο με το $\displaystyle{(M_oN_oS_o)}$ . Δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{m}{m_o}=\frac{n}{n_o}=\frac{s}{s_o}=l \ \ (1)}$

όπου $\displaystyle{l}$ ο λόγος ομοιότητας αυτών.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{(ABM), \ \ (MDN), \ \ (ACN) }$ προκύπτει:

$\displaystyle{n^2=c^2+x^2, \ \ s^2=a^2+y^2, \ \ m^2=b^2+(x+y)^2 \ \ (2)}$

Από τις εξισώσεις (2) ακόμα προκύπτει:

$\displaystyle{m^2=b^2+x^2+y^2+2xy }$

και από την (1) θα είναι:

$\displaystyle{l^2m_o^2=b^2+l^2n_o^2-c^2+l^2s_o^2-a^2+2\sqrt{l^2n_o^2-c^2} \cdot \sqrt{l^2s_o^2-a^2} \ \ (3) }$

Η εξίσωση αυτή έχει άγνωστο το λόγο ομοιότητας $\displaystyle{l}$ και τελικά μετά πράξεις καταλήγει στη μορφή:

$\displaystyle{Pl^4+Ql^2+R=0, \ \ (4)}$

όπου:

$\displaystyle{P= q^4-4n_o^2s_o^2}$

$\displaystyle{Q=4n_o^2a^2+4s_o^2c^2-2q^2w^2 }$

$\displaystyle{R=w^2-4a^2c^2 }$

και

$\displaystyle{q^2=s_o^2+n_o^2-m_o^2 }$

$\displaystyle{w^2=a^2+c^2-b^2 }$ .

Τελικά η λύσεις της (4) δίνει και εκείνες που θα δώσουν τις τιμές των πλευρών
του ζητούμενου τριγώνου.

Το σχήμα που ανάρτησα έχει κατασκευαστεί αφού λύθηκε η εξίσωση (4).

Κώστας Δόρτσιος

R^3 ΚΑΙ ΠΑΛΙ

R^3 ΚΑΙ ΠΑΛΙ

Re: R^3 ΚΑΙ ΠΑΛΙ

Μέλη σε σύνδεση