Συνευθειακά...

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Συνευθειακά...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pm

col1.png
col1.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC τα σημεία D, E και F είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές BC, AB και AC
αντίστοιχα, και H το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν K, L οι προβολές των H, D στην EF
αντίστοιχα, και N το μέσο του DL, να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K και N ανήκουν στην ίδια ευθεία.



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Συνευθειακά...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Τετ Ιαν 20, 2021 8:12 pm

giannimani έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pm
col1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο ABC τα σημεία D, E και F είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές BC, AB και AC
αντίστοιχα, και H το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν K, L οι προβολές των H, D στην EF
αντίστοιχα, και N το μέσο του DL, να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K και N ανήκουν στην ίδια ευθεία.
geo.png
geo.png (308.7 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές
'Εστω T\equiv AD\cap EF. Από το πλήρες τετράπλευρο AEHF.BC έχουμε ότι (A,H,T,D)=-1 , οπότε είναι \frac{HT}{HD}=\frac{AT}{AD}. Επίσης HK//DL , οπότε από το θεώρημα του Θαλή είναι \frac{TK}{KL}=\frac{HT}{HD} . Άρα \frac{TK}{KL}=\frac{AT}{AD}. Οπότε

\frac{AT}{AD}\cdot \frac{KL}{KT}\cdot \frac{ND}{NL}=1 και από το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου στο τρίγωνο TLD έχουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακά...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιαν 20, 2021 9:42 pm

giannimani έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pm
col1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο ABC τα σημεία D, E και F είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές BC, AB και AC
αντίστοιχα, και H το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν K, L οι προβολές των H, D στην EF
αντίστοιχα, και N το μέσο του DL, να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K και N ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Καλησπέρα
Ας δούμε την γενικότερη μορφή του «εύκολου» αυτού προβλήματος

Έστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} και οι σεβιανές \displaystyle{AD,BF,CE} που διέρχονται από το \displaystyle{H}. Αν \displaystyle{HK\parallel DL} με \displaystyle{K,L \in EF} να δειχθεί ότι η \displaystyle{AK} διέρχεται από το μέσο \displaystyle{N} της \displaystyle{DL}
Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (22.23 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
Απόδειξη
Από το πλήρες τετράπλευρο \displaystyle{AEHFBC} προκύπτει ότι η σειρά \displaystyle{\left( {A,T,H,D} \right)} είναι αρμονική , με \displaystyle{T \equiv AD \cap EF} (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και η δέσμη \displaystyle{K.ATHD \equiv K.NLHD} είναι αρμονική και με \displaystyle{KH\parallel DL}προκύπτει ότι \displaystyle{N} το μέσο της \displaystyle{DL} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
giannimani
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συνευθειακά...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Ιαν 21, 2021 12:08 am

col2.png
col2.png (56.08 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο H του \vartriangle ABC είναι το έγκεντρο του ποδικού του τριγώνου DEF .
Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το A είναι το D-παράκεντρο του \vartriangle DEF. Αν M το σημείο επαφής
του D-παρεγγεγραμμένου κύκλου με την EF, και P το αντιδιαμετρικό του, τότε στο τραπέζιο PMDL
τα A και N είναι τα μέσα των βάσεών του, και K το σημείο τομής των διαγωνίων του. Από γνωστή
ιδιότητα του τραπεζίου, τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Υ.Γ Προστέθηκε στο σχήμα η διαγώνιος DP του τραπεζίου PMDL. Εκ παραδρομής λείπει η απόδειξη ότι αυτή διέρχεται από το K.
Λόγω ώρας θα προστεθεί αύριο.

Υ.Γ2. Τα σημεία D, K και P ανήκουν στην ίδια ευθεία, εφόσον τα K, P είναι ομόλογα σημεία της ομοιοθεσίας κέντρου D
που μετασχηματίζει τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DEF στον D-παρεγγεγραμμένο κύκλο του.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης