Συνευθειακά...
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Συνευθειακά...
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Re: Συνευθειακά...
'Εστω . Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι , οπότε είναι . Επίσης , οπότε από το θεώρημα του Θαλή είναι . Άρα . Οπότεgiannimani έγραψε: ↑Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pmcol1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο τα σημεία , και είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές , και
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
και από το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου στο τρίγωνο έχουμε το ζητούμενο.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακά...
Καλησπέραgiannimani έγραψε: ↑Τετ Ιαν 20, 2021 6:28 pmcol1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο τα σημεία , και είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές , και
αντίστοιχα, και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν , οι προβολές των , στην
αντίστοιχα, και το μέσο του , να αποδείξετε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Ας δούμε την γενικότερη μορφή του «εύκολου» αυτού προβλήματος
Έστω τρίγωνο και οι σεβιανές που διέρχονται από το . Αν με να δειχθεί ότι η διέρχεται από το μέσο της Απόδειξη
Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική , με (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και η δέσμη είναι αρμονική και με προκύπτει ότι το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συνευθειακά...
DEF .
Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το είναι το παράκεντρο του DEF. Αν το σημείο επαφής
του παρεγγεγραμμένου κύκλου με την , και το αντιδιαμετρικό του, τότε στο τραπέζιο
τα και είναι τα μέσα των βάσεών του, και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Από γνωστή
ιδιότητα του τραπεζίου, τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Υ.Γ Προστέθηκε στο σχήμα η διαγώνιος του τραπεζίου . Εκ παραδρομής λείπει η απόδειξη ότι αυτή διέρχεται από το .
Λόγω ώρας θα προστεθεί αύριο.
Υ.Γ2. Τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, εφόσον τα , είναι ομόλογα σημεία της ομοιοθεσίας κέντρου
που μετασχηματίζει τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DEF στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του.
Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο του είναι το έγκεντρο του ποδικού του τριγώνου Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το είναι το παράκεντρο του DEF. Αν το σημείο επαφής
του παρεγγεγραμμένου κύκλου με την , και το αντιδιαμετρικό του, τότε στο τραπέζιο
τα και είναι τα μέσα των βάσεών του, και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Από γνωστή
ιδιότητα του τραπεζίου, τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Υ.Γ Προστέθηκε στο σχήμα η διαγώνιος του τραπεζίου . Εκ παραδρομής λείπει η απόδειξη ότι αυτή διέρχεται από το .
Λόγω ώρας θα προστεθεί αύριο.
Υ.Γ2. Τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, εφόσον τα , είναι ομόλογα σημεία της ομοιοθεσίας κέντρου
που μετασχηματίζει τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DEF στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες