Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Δεκ 31, 2020 3:01 pm

Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους.

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι (K),\ (L) εκτός αλλήλων και έστω AB,\ CD, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα A,\ D, σημεία του κύκλου (K). Έστω τα τυχόντα σημεία E,\ F επί της CD, ώστε να είναι DE = CF και ας είναι το D μεταξύ των D,\ M, όπου M είναι το μέσον του CD. Οι δια των σημείων E,\ F εφαπτόμενες των κύκλων (K),\ (L), τέμνουν την AB στα σημεία P,\ Q, αντιστοίχως. Οι δια των σημείων Q,\ P εφαπτόμενες των κύκλων (K),\ (L), τέμνουν την CD στα σημεία S,\ T, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι DS = CT.
f 185_t 68691.PNG
Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.
f 185_t 68691.PNG (34.9 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχει εμφανιστεί κάποια συνθετική απόδειξη ( το πρόβλημα είναι πρόσφατο ) μέχρι τώρα και αυτή που έχω υπόψη μου, δεν έχει ακόμα αναρτηθεί.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 837
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Δεκ 31, 2020 4:48 pm

vittasko έγραψε:
Πέμ Δεκ 31, 2020 3:01 pm
Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους.

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι (K),\ (L) εκτός αλλήλων και έστω AB,\ CD, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα A,\ D, σημεία του κύκλου (K). Έστω τα τυχόντα σημεία E,\ F επί της CD, ώστε να είναι DE = CF και ας είναι το D μεταξύ των D,\ M, όπου M είναι το μέσον του CD. Οι δια των σημείων E,\ F εφαπτόμενες των κύκλων (K),\ (L), τέμνουν την AB στα σημεία P,\ Q, αντιστοίχως. Οι δια των σημείων Q,\ P εφαπτόμενες των κύκλων (K),\ (L), τέμνουν την CD στα σημεία S,\ T, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι DS = CT.
f 185_t 68691.PNG
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχει εμφανιστεί κάποια συνθετική απόδειξη ( το πρόβλημα είναι πρόσφατο ) μέχρι τώρα και αυτή που έχω υπόψη μου, δεν έχει ακόμα αναρτηθεί.

Μία λύση με προβολική:
16.PNG
16.PNG (31.48 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Κουνάω το E στην ευθεία DC
Αρχικά η E\rightarrow P είναι προβολικότητα.
Απόδειξη : Έστω E' το αντίστροφο του E στον κόκκινο κύκλο.Έχουμε E\rightarrow E'\rightarrow DE'\rightarrow W\rightarrow AW\rightarrow AF'\rightarrow P προβολικές συνδέσεις οπότε πράγματι ισχύει.
Έχω λοιπόν ότι E\rightarrow P\rightarrow T προβολική σύνδεση.
Επίσης η E\rightarrow F\rightarrow Q\rightarrow S\rightarrow T_1 θα είναι προβολική σύνδεση με T_1 το συμμετρικό του S προς το M.
Θέλουμε T_1\equiv T οπότε αρκεί να το δείξουμε για τρεις θέσεις του E αφού τότε οι προβολικότητες θα ταυτίζονται.
Τις πρώτες δύο:
17.PNG
17.PNG (35.12 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Όταν η EP γίνει μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τότε λόγω συμμετρίας (οι εσωτερικές εφαπτομένες τέμνονται πάνω στην διάκεντρο κλπ) η FQ θα είναι η άλλη οπότε E \equiv S,F\equiv T άρα είμαστε εντάξει.
Επίσης εναλλάσοντας τις θέσεις των E,F στο πάνω σχήμα παίρνουμε και μία δεύτερη θέση για το E και μας μένει μία ακόμη.
Όταν E=D τότε P\equiv DC\cap AB και S=C και T=D(δείτε το οριακά μίας και έχουμε ταυτιζόμενες ευθείες) οπότε τελειώσαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης