ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

#1

Έπειτα από αρκετό καιρό αποχής από εδώ και αφού ευχηθώ χρόνια πολλά με υγεία σε όλους τους φίλους, παραθέτω μία πρόταση την οποία δεν είμαι σίγουρος αν είχα υποβάλει και αρκετά παλαιότερα.
Θεωρούμε τετράπλευρο ABCD

καθώς και σημεία E,F

των πλευρών BC, AD

αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{CD}$ . Αν G, H

είναι τα τέταρτα αρμονικά των (B,C,E)

και

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι $GH\perp EF$ .

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα Ανδρέα με τις καλλίτερες των ευχών μου.

Θεωρούμε

την τομή των αντίστοιχων Απολλώνιων κύκλων προς τους λόγους $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}},\;\frac{{EB}}{{EC}},}$ για τους οποίους τελικά ισχύει $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AL}}{{LD}} = \frac{{LB}}{{LC}},}$ από όπου έχουμε την ομοιότητα των τριγώνων LAB, LCD,

που οδηγεί στην ισότητα των γωνιών $\angle ALB,\;\angle CLD.$
Επειδή οι LF,LE

είναι διχοτόμοι αντίστοιχα των γωνιών $\angle DLA,\;\angle BLC,$ εύκολα έχουμε ότι τα σημεία E,L,F

είναι συνευθειακά.
Έτσι και επειδή η κάθετη σε ευθεία και σε σημείο της είναι μονοσημάντως ορισμένη, τα σημεία H,G,L

είναι συνευθειακά
και από αυτό άμεσα προκύπτει $HG \bot EF.$

#3

Μη σας ξεγελάει το σχήμα του Ανδρέα πιο πάνω. Το σημείο τομής των ευθειών $EF,\ GH$ δεν ταυτίζεται απαραίτητα με το σημείο τομής των διαγωνίων του δοσμένου τετραπλεύρου ABCD

με τις συνθήκες της εκφώνησης.

Κώστας Βήττας.

#4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 10:48 am
Καλημέρα Ανδρέα με τις καλλίτερες των ευχών μου.

Θεωρούμε την τομή των αντίστοιχων Απολλώνιων κύκλων προς τους λόγους $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}},\;\frac{{EB}}{{EC}},}$ για τους οποίους τελικά ισχύει $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AL}}{{LD}} = \frac{{LB}}{{LC}},}$ από όπου έχουμε την ομοιότητα των τριγώνων
που οδηγεί στην ισότητα των γωνιών $\angle ALB,\;\angle CLD.$
Επειδή οι είναι διχοτόμοι αντίστοιχα των γωνιών $\angle DLA,\;\angle BLC,$ εύκολα έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έτσι και επειδή η κάθετη σε ευθεία και σε σημείο της είναι μονοσημάντως ορισμένη, τα σημεία είναι συνευθειακά
και από αυτό άμεσα προκύπτει $HG \bot EF.$

Καλημέρα και χρόνια πολλά!
Χαίρομαι ιδιαίτερα που τα ξαναλέμε από εδώ!
Σωτήρη σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση σου. Μια από τις σκέψεις μου είναι και αυτή που αναφέρεις. Μου φαίνεται όμως ότι είναι απαραίτητο να αιτιολογησουμε ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται.

#5

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:22 pm
Μη σας ξεγελάει το σχήμα του Ανδρέα πιο πάνω. Το σημείο τομής των ευθειών $EF,\ GH$ δεν ταυτίζεται απαραίτητα με το σημείο τομής των διαγωνίων του δοσμένου τετραπλεύρου με τις συνθήκες της εκφώνησης.

Κώστας Βήττας.

Καλημέρα Κώστα και χρόνια πολλά. Με μεγάλη μου χαρά τα ξαναλέμε και από εδώ! Σε ευχαριστώ για την διευκρίνιση. Η αλήθεια είναι ότι το σχήμα θα ήθελε μία διόρθωση καθώς ξέχασα και τα ελληνικά γράμματα. Θα γράψω αργότερα την προσέγγιση μου. Η ιδέα του προβλήματος ξεκινά από μία σύνθεση ανάκλασης με ομοιοθεσια.

S.E.Louridas · #6

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 am
Θεωρούμε τετράπλευρο καθώς και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{CD}$ . Αν είναι τα τέταρτα αρμονικά των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι $GH\perp EF$ .

Θεωρούμε

την τομή των αντίστοιχων Απολλώνιων κύκλων προς τους λόγους $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}},\;\frac{{EB}}{{EC}},}$ για τους οποίους τελικά ισχύει $\displaystyle{\frac{{FA}}{{FD}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AL}}{{LD}} = \frac{{LB}}{{LC}},}$ από όπου έχουμε την ομοιότητα των τριγώνων LAB, LCD,

που οδηγεί στην ισότητα των γωνιών $\angle ALB,\;\angle CLD.$
Επειδή οι LF,LE

είναι διχοτόμοι αντίστοιχα των γωνιών $\angle DLA,\;\angle BLC,$ εύκολα έχουμε ότι τα σημεία E,L,F

είναι συνευθειακά.
Έτσι και επειδή η κάθετη σε ευθεία και σε σημείο της είναι μονοσημάντως ορισμένη, τα σημεία H,G,L

είναι συνευθειακά
και από αυτό άμεσα προκύπτει $HG \bot EF.$
Η κατασκευαστική ύπαρξη (*) της τομής

των Απολλώνιων κύκλων φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί και είναι η τομή των τόξου

και της ευθείας TW.

: 12.png (82.09 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

(*) Απλά επανήρθα για να εξηγήσω τι είχα στο μυαλό μου για την ύπαρξη του

και που το πήρα ως τομή (και πράγματι όπως είδαμε είναι) των δύο Απολλώνιων κύκλων.

#7

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:22 am
Έπειτα από αρκετό καιρό αποχής από εδώ και αφού ευχηθώ χρόνια πολλά με υγεία σε όλους τους φίλους, παραθέτω μία πρόταση την οποία δεν είμαι σίγουρος αν είχα υποβάλει και αρκετά παλαιότερα.
Θεωρούμε τετράπλευρο καθώς και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{CD}$ . Αν είναι τα τέταρτα αρμονικά των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι $GH\perp EF$ .

Για την καλημέρα μου στην ΑΡΙΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΕΑ!!!!

: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ.png (32.72 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Έστω τα παραλληλόγραμμα $\displaystyle{ABEK,ECDL}$ . Τότε από $\displaystyle{\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{AF}}{{FD}}\mathop \Rightarrow \limits^{AK = EB,DL = EC,AK\parallel LD\parallel BC} K,F,L}$ συνευθειακά και $\displaystyle{\dfrac{{KF}}{{FL}} = \dfrac{{AF}}{{FD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{EK}}{{EL}} \Rightarrow EF}$ διχοτόμος του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle EKL}$ και ας είναι $\displaystyle{S}$ το σημείο τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\displaystyle{E}$ του ίδιου τριγώνου με την $\displaystyle{KL}$ (προφανώς) $\displaystyle{SE \bot EF:\left( 1 \right)}$ και η σειρά $\displaystyle{\left( {S,K,F,L} \right)}$ είναι αρμονική.
Με $\displaystyle{\left( {S,K,F,L} \right) = \left( {H,A,F,D} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AK\parallel DL} HS\parallel AK\parallel DL \Rightarrow }$ $\displaystyle{\dfrac{{HS}}{{LD}} = \dfrac{{HF}}{{FD}}\mathop = \limits^{\left( {H,A,F,D} \right) = \left( {G,B,E,C} \right)} \dfrac{{GE}}{{EC}} = \dfrac{{GE}}{{LD}} \Rightarrow HS = GE\mathop \Rightarrow \limits^{HS\parallel GE} HSEG}$ παραλληλόγραμμο και συνεπώς $\displaystyle{HG\parallel SE\mathop \Rightarrow \limits^{SE \bot EF} HG \bot EF}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Με εκτίμηση

Στάθης

ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση