Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .
Πηγή: Γκαλπερίν, Πλάχοβ. Ένα γεωμετρικό πρόβλημα που οδηγεί σε μπιλιαρδοειδείς κανόνες ανάκλασης. "Μαθηματική Εκπαίδευση" τεύχος 16, 2011.
Πηγή: Γκαλπερίν, Πλάχοβ. Ένα γεωμετρικό πρόβλημα που οδηγεί σε μπιλιαρδοειδείς κανόνες ανάκλασης. "Μαθηματική Εκπαίδευση" τεύχος 16, 2011.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Δεκ 05, 2020 11:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε:
Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα τέμνονται στο
Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα τέμνονται στο
Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας ) που τέμνεται με την στο .
Τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των , που δίνει το ζητούμενο.
Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα τέμνονται στο
Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα τέμνονται στο
Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας ) που τέμνεται με την στο .
Τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των , που δίνει το ζητούμενο.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:27 pmΈστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .
Κώστα καλημέρα από Γρεβενά...rek2 έγραψε: ↑Παρ Δεκ 04, 2020 9:54 pmΑς βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε:
Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα τέμνονται στο
Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα τέμνονται στο
Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας ) που τέμνεται με την στο .
Τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των , που δίνει το ζητούμενο.
Αναρτώ ένα σχήμα, καθώς το ζήτησες, στη λακωνική και ορθότατη λύση σου.
Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Σάβ Δεκ 05, 2020 11:54 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Όμορφη η αντιμετώπιση από τον κ.Ρεκούμη. Οι επιμέρους προτάσεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν και για άλλα προβλήματα ίσως καλό θα ήταν να δούμε τις αποδείξεις τους ξεχωριστά (αν δεν υπάρχουν ήδη στο ).
Αξιοσημείωτη είναι η οπτική ιδιότητα που δημιουργείται από ένα τέτοιο σχήμα. Το καμπυλόγραμμο τρίγωνο είναι αόρατο σε ένα παρατηρητή που βρίσκεται στην εστία . Αν υποθέσουμε ότι το τρίγωνο είναι καθρέφτης και επίσης καθρέφτης υπάρχει γύρο από την εστία . Μάλιστα οτιδήποτε υπάρχει «πίσω» από το τρίγωνο φαίνεται στον παρατηρητή χωρίς διάθλαση.
Αξιοσημείωτη είναι η οπτική ιδιότητα που δημιουργείται από ένα τέτοιο σχήμα. Το καμπυλόγραμμο τρίγωνο είναι αόρατο σε ένα παρατηρητή που βρίσκεται στην εστία . Αν υποθέσουμε ότι το τρίγωνο είναι καθρέφτης και επίσης καθρέφτης υπάρχει γύρο από την εστία . Μάλιστα οτιδήποτε υπάρχει «πίσω» από το τρίγωνο φαίνεται στον παρατηρητή χωρίς διάθλαση.
Re: Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος
Ευχαριστώ Φίλε!!KDORTSI έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 05, 2020 7:43 amAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:27 pmΈστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .
Κώστα καλημέρα από Γρεβενά...
Αναρτώ ένα σχήμα, καθώς το ζήτησες, στη λακωνική και ορθότατη λύση σου.
rek 1.png
Κώστας Δόρτσιος
Να είσαι πάντα καλά!
Να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από σένα!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης