Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 30, 2020 12:28 pm

Εστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC
Θεωρούμε σημείο P
που βρίσκεται στο εσωτερικό του η στην περίμετρο.

Έστω K,L,N οι προβολές του P στις πλευρές του τριγώνου.

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

PK^2+PL^2+PN^2



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μάιος 31, 2020 10:59 pm

Ας δούμε μία άποψη για το όμορφο κατά την άποψη μου αυτό θέμα:

Αν θεωρήσουμε c \leqslant a \leqslant b και θέσουμε PK = x,\;PL = y,\;PN = z, τότε, ax + by + cz = 2E = k > 0,\;ct.\;\,\left( 1 \right) και \frac{1}{{{h_a}}}x + \frac{1}{{{h_b}}}y + \frac{1}{{{h_c}}}z = 1\;\,\left( 2 \right), με {h_a},\;{h_b},\;{h_c}, τα αντίστοιχα ύψη των πλαυρών a,b,c του τριγώνου. Αν επιλύσουμε το σύστημα των \left( 1 \right),\;\left( 2 \right) ως προς x,y θα καταλήξουμε x = {a_1}z + {a_2},\;y = {b_1}z + {b_2}, όπου {a_1},{a_2},{b_1},{b_2} σταθερές. Έτσι αν θέσουμε t = {x^2} + {y^2} + {z^2}, πάμε σε ισότητα της μορφής t\left( z \right) = m{z^2} + 2nz + u, με m > 0,\;n,\;u σταθερές και με {t{'}}\left( z \right) = 2mz + 2n, οπότε για z =  - \frac{n}{m} παίρνουμε το {t_{\min }} που ανταποκρίνεται ως γνωστόν στο σημείο τοy Lemoine. Τότε στο διάστημα από το {t_{\min }} έως και το {h_c} η t\left( z \right) είναι γνησίως αύξουσα και παίρνει ως μέγιστη τιμή την t\left( {{h_c}} \right) = \frac{{4\tau \left( {t - a} \right)\left( {t - b} \right)\left( {t - c} \right)}}{{{c^2}}}.
Από την υποθεση c \leqslant a \leqslant b προκύπτει ότι το {h_c} είναι το μεγαλύτερο από τα ύψη.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 31, 2020 11:38 pm

Ωραία Σωτήρη.
Στην ουσία έκανες πιο απλή
την απόδειξη που είχα κάνει στο
viewtopic.php?f=179&t=67222&p=326357#p326357
την οποία και παραθέτω.

Εκτός φακέλου
Ενδιαφέρον είναι να βρούμε και την μέγιστη τιμή όταν το σημείο είναι εντός του τριγώνου.
Αυτή είναι το τετράγωνο του μεγαλύτερου ύψους.
Το βλέπω ως εξής:
Εστω (x,y) τα σημεία του επιπέδου και f(x,y) είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από
τις πλευρές .
Η f(x,y) πανεύκολα (αν γνωρίζει κάποιος κυρτές πολλών μεταβλητών) είναι κυρτή.
Είναι γνωστό ότι οι κυρτές παίρνουν μέγιστη τιμή στο σύνορο.
Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι σε μια από τις κορυφές του τριγώνου.

Ερώτηση.
Υπάρχει καθαρά Γεωμετρική απόδειξη για το παραπάνω ;

Η απάντηση είναι ότι υπάρχει καθαρά γεωμετρική απόδειξη.
Καλό είναι να γραφεί.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιουν 01, 2020 12:44 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:38 pm

Ερώτηση.
Υπάρχει καθαρά Γεωμετρική απόδειξη για το παραπάνω ;

Η απάντηση είναι ότι υπάρχει καθαρά γεωμετρική απόδειξη.
Καλό είναι να γραφεί.
Ελπίζω να μην χάνω κάτι.
megisto_athroisma_tetragwnwn1.png
megisto_athroisma_tetragwnwn1.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
Έστω BC η μικρότερη πλευρά του τριγώνου υπό εξέταση ABC δηλαδή AD το μεγαλύτερο από τα ύψη του. Από το σημείο P φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Σχηματίζονται τα όμοια με το ABC τρίγωνα EPT και ZSP. Σε αυτά τα τρίγωνα φέρουμε τα ομόλογα ύψη, EF και ZH, με το AD.(όπως στο σχήμα)

Οπότε έχουμε PL+PK+PN \leq PK + EF + ZH = AJ+JI+ID = AD

και επειδή PL^2 +PK^2+PN^2 \leq (PL+PK+PN)^2 θα είναι PL^2 +PK^2+PN^2 \leq AD^2.

Αν το P ταυτίζεται με το A έχουμε ισότητα και η τιμή AD^2 είναι το ζητούμενο μέγιστο.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιουν 01, 2020 8:56 am

Καλημέρα. Βέβαια και πέραν πλεόν του "αυτοματισμού επίλυσης" της προηγούμενης διαπραγμάτευσης μου, επίσης "πιό ψύχραιμα" πλέον έχουμε:

Αν θεωρήσουμε c \leqslant a \leqslant b, οπότε \displaystyle{{h_c} = \max \left\{ {{h_a},{h_b},{h_c}} \right\}} και θέσουμε PK = x,\;PL = y,\;PN = z, τότε \displaystyle{\frac{1}{{{h_a}}}x + \frac{1}{{{h_b}}}y + \frac{1}{{{h_c}}}z = 1, όταν {h_a},\;{h_b},\;{h_c},} τα αντίστοιχα ύψη των πλευρών a,b,c του τριγώνου. Άρα \displaystyle{\frac{{x + y + z}}{{{h_c}}} \leqslant 1 \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \leqslant h_c^2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant h_c^2} με το = (ίσον) να επιτυγχάνεται όταν x=y=0, z=h_c, αφού \displaystyle{{h_c} = \max \left\{ {{h_a},{h_b},{h_c}} \right\} \Rightarrow x \leqslant {h_c}\;\kappa \alpha \iota \;y \leqslant {h_c}.}

Άρα όταν c \leqslant a \leqslant b παίρνουμε: \displaystyle{\max \left\{ {P{K^2} + P{L^2} + P{N^2}} \right\} = h_c^2 = \frac{{4\tau \left( {\tau  - a} \right)\left( {\tau  - b} \right)\left( {\tau  - c} \right)}}{{{c^2}}}}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 01, 2020 11:00 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Ιουν 01, 2020 12:44 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:38 pm

Ερώτηση.
Υπάρχει καθαρά Γεωμετρική απόδειξη για το παραπάνω ;

Η απάντηση είναι ότι υπάρχει καθαρά γεωμετρική απόδειξη.
Καλό είναι να γραφεί.
Ελπίζω να μην χάνω κάτι.

megisto_athroisma_tetragwnwn1.png

Έστω BC η μικρότερη πλευρά του τριγώνου υπό εξέταση ABC δηλαδή AD το μεγαλύτερο από τα ύψη του. Από το σημείο P φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Σχηματίζονται τα όμοια με το ABC τρίγωνα EPT και ZSP. Σε αυτά τα τρίγωνα φέρουμε τα ομόλογα ύψη, EF και ZH, με το AD.(όπως στο σχήμα)

Οπότε έχουμε PL+PK+PN \leq PK + EF + ZH = AJ+JI+ID = AD

και επειδή PL^2 +PK^2+PN^2 \leq (PL+PK+PN)^2 θα είναι PL^2 +PK^2+PN^2 \leq AD^2.

Αν το P ταυτίζεται με το A έχουμε ισότητα και η τιμή AD^2 είναι το ζητούμενο μέγιστο.
Η απόδειξη μου είναι σε αυτό το πνεύμα.
Στηρίζεται στο έξης:

Εστω ABC είναι τρίγωνο .
Εστω Pσημείο της BCκαι K,L οι προβολές του στις AB καιAC.
Ισχύει ότι PK+PL\leq h όπου h είναι το μεγαλύτερο από τα ύψη
των κορυφων B, C.

Την απόδειξη στην ουσία την έκανε ο Αλέξαντρος αν το τρίγωνο είναι
οξυγώνιο.Για αμβλυγώνιο είναι ακόμα πιο απλή.
Προφανώς ισχύει το αποτέλεσμα και για αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Το έβαλα για οξυγώνιο για να μην χρειασθούν περιπτώσεις.
Η απόδειξη του Σωτήρη το επιβεβαιώνει.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο αθροίσματος τετραγώνων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Ιουν 02, 2020 11:22 pm

Edit 3/6/2020 : H παρακάτω προσέγγιση δεν δουλεύει. Ο λόγος; Η f δεν είναι αναλυτική διότι παίρνει μόνο πραγματικές τιμές και δεν είναι σταθερή. Την αντιμετώπισα ως αναλυτική διότι κάνοντας, νοερά, τις πράξεις παρέβλεψα ότι η \bar{z} δεν είναι αναλυτική. Ευχαριστώ πολύ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση του λάθους μου με pm.
Εκτός φακέλου. Μια σκέψη που έκανα όταν είδα την άσκηση. Μοιάζει με την σκέψη του Σταύρου. Έστω T η περίμετρος του τριγώνου, S το εσωτερικό του, z o μιγαδικός που έχει εικόνα το P και f(z) το υπό μελέτη άθροισμα τετραγώνων. Η f είναι αναλυτική στο συμπαγές T\cup S άρα παρουσιάζει μέγιστο. Αν στο ανοικτό και συνεκτικό S είναι σταθερή (που δεν είναι) τότε λόγω συνεχείας είναι σταθερή και στο T\cup S και το μέγιστο επιτυγχάνεται σε κάποια κορυφή δηλαδή είναι το μέγιστο ύψος. Αν δεν είναι σταθερή στο S από την αρχή μεγίστου μέτρου δεν έχει σε αυτό μέγιστο και το μέγιστο επιτυγχάνεται πάλι στο T. Επειδή κάθε πλευρά επιδέχεται παραμέτρηση από το (κλειστό) μοναδιαίο διάστημα με γραμμικές συναρτήσεις το άθροισμα των τετραγώνων θα είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου θετικό. Άρα η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται σε άκρο του διαστήματος δηλαδή σε άκρο της πλευράς και τελικά θα είναι το μέγιστο ύψος.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης