Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

#1

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$ , τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\ CF$ , αντιστοίχως και ας είναι $D'',\ E'',\ F''$ , τα σημεία στα οποία τέμνονται τα ίδια ημικύκλια, από τον περίκυκλο έστω του τριγώνου $\vartriangle D' E'F'$ . Αποδείξτε ότι οι ευθείες $AD'',\ BE'',\ CF''$ τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Κώστας Βήττας.

: Ορθοκεντρικό εξαγώμενο 7; f 185_t 66713.PNG (24.22 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

min## · #2

Βρήκα μια με αρκετή Προβολική που όμως κάνει τη δουλειά:

: vittassdsko.png (69.33 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Έστω $X \equiv E'E''\cap F'F'',Y \equiv D'D''\cap F'F'',Z \equiv D'D''\cap E'E''$
και $X_{1}\equiv AB\cap YZ,X_{2}\equiv AC\cap YZ,Y_{1}\equiv BC \cap XZ,Y_{2}\equiv BA\cap XZ,Z_{1}\equiv AC\cap XY,Z_{2}\equiv BC\cap XY$
Τότε από ριζικούς άξονες στα (BFECD''D'),(AFDCE''E'),(D'D''E''E'F''F')

και τα κυλκικά τους,τα XYZ,ABC

βγαίνουν προοπτικά με κέντρο

.
Άρα τα $YZ \cap BC,ZX \cap AC,XY \cap AB$ είναι συνευθειακά στον άξονα προοπτικότητας.
Έτσι,με ένα αντίστροφο του Pascal

στο εκφυλισμένο $X_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}Y_{1}Y_{2}$ συμπεραίνουμε πως το εξάπλευρο αυτό εγγράφεται σε κωνική. (1)

Από

στo τετράπλευρο BFEC

και τη γραμμή

παίρνουμε πως τα σημεία τομής των διαγωνίων και της περιγγεγραμμένης κωνικής (BFEC)

με την

είναι συζυγή σε ενέλιξη ( involution

),δηλαδή τα $(Y,Z),(X_{1},X_{2}),(D',D'')$ .
Ομοίως και τα $(X,Y),(Z_{1},Z_{2}),(F',F'')$ και τα $(X,Z),(Y_{1},Y_{2}),(E',E'')$ είναι συζυγή σε ενελίξεις στις XY,ZX

.

.
Περιέργως,τα (1),(2)

αρκούν για να δώσουν το ζητούμενο αφού έχουμε το εξής Λήμμα:

Λήμμα:
Έστω ABC

τρίγωνο και κωνική $X_{1}X_{2}Y_{1}Y_{2}Z_{1}Z_{2}$ που τέμνει τις πλευρές του (οι συμβολισμοί των σημείων ίδιοι με παραπάνω).
Αν (D',D'')

συζυγή στην ενέλιξη της οικογένειας κωνικών εκ των $Z_{1}Z_{2}Y_{1}Y_{2}$ (πάνω στην

)και αντίστοιχα τα ζεύγη (E',E''),(F',F'')

στις ενελίξεις των οικογενειών $X_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2},X_{1}X_{2}Y_{1}Y_{2}$ αντίστοιχα (πάνω στις XY,ZX

),τότε

προοπτικά $\Leftrightarrow$ ABC,D''E''F''

προοπτικά.

Απόδειξη:
Έστω πχ. ότι τα ABC

,

είναι προοπτικά με κέντρο το

και $S \equiv BE'' \cap CF''$ .Αρκεί A,S,D''

συνευθειακά. .
Σταθεροποιούμε την AD'

και μεταβάλλουμε κατά μήκος της το

(συνεπώς κινούνται και τα E',F'

).
Κινούνται όμως και τα E'',F''

έτσι ώστε τα (E',E''),(F',F'')

να παραμένουν συζυγή ζεύγη στις αντίστοιχες ενελίξεις τους.
Λόγω μοναδικότητας της συζυγίας μπορούμε να επανορίσουμε $E''' \equiv BS \cap ZX$ και αρκεί πλέον να δείξουμε ότι τα (E',E''')

είναι πάντα συζυγή στην ενέλιξη της $Z_{1}Z_{2}Χ_{1}Χ_{2}$ (οικογένειας κωνικών/τετραπλεύρου-έτσι κι αλλιώς το ίδιο κάνει από Desargues

).
Όμως καθώς κινείται το

έχουμε τις προοπτικότητες ( Perspectivities

) $B(R)\rightarrow C(R)\equiv B(E')\rightarrow C(F')$ (στην παρένθεση τα κινούμενα σημεία-βλέπουμε τις δέσμες ευθειών:έχουν ίσους διπλούς λόγους).
Έχουμε επίσης (όμοια) και την προοπτικότητα $B(E'')\rightarrow C(F'')$ .Λόγω ενέλιξης έχουμε την προβολικότητα ( Projectivity

) $C(F'')\rightarrow C(F')$ οπότε έχουμε την προβολικότητα $B(E')\rightarrow B(E'')$ .
Για να είναι ενέλιξη (αυτό που θέμε) αρκεί να έχει ένα ζεύγος σημείων που αλληλοαντιστοιχίζονται.
Αυτό όμως ισχύει:Όταν το

πέσει στην

,θα είναι $E'\equiv Y_{1},E'''\equiv Y_{2}$ και όταν το

πέσει στην

θα είναι $E'\equiv Y_{2},E'''\equiv Y_{1}$ -δηλαδή τα σημεία αλληλοαντιστοιχίζονται και το Λήμμα δείχτηκε.

Πίσω στην άσκηση:Η ενέλιξη της οικογένειας BFEC

στην

ταυτίζεται με εκείνη της $Y_{1}Y_{2}Z_{1}Z_{2}$ .

Αυτό γιατί και οι δύο ανταλλάζουν τα (2) ζεύγη $(X_{1},X_{2}),(Y,Z)$ .Πράγματι από τα $(X_{1},X_{2}),(Y,Z)$ είναι συζυγή στην ενέλιξη της ,ενώ από είναι και της $Y_{1}Y_{2}Z_{1}Z_{2}$ ως τομές περιγγεγραμμένης κωνικής και πλευρών του τετραπλεύρου αντίστοιχα .

Θα ανταλλάζει λοιπόν η δεύτερη και τα D,D'

της πρώτης ( (2)

).
Αντίστοιχα,οι προυποθέσεις του Λήμματος ισχύουν και για τις XY,ZX

.
Έτσι ισχύει και το συμπέρασμα,και αφού ABC,D'E'F'

προοπτικά,θα είναι και τα ABC,D''E''F''

προοπτικά κλπ.

Edit:1.Προσθήκη του απαραίτητου σχήματος
Edit:999999 Για τη γενίκευση(

τυχαίο σημείο εντός του ABC

):

$\cdot$ Τα ABC,XYZ

πάλι βγαίνουν προοπτικά, όχι με κέντρο το τυχαίο

αλλά το ορθόκεντρο του ABC

.
$\cdot$ Τα $X_{1}X_{2}Y_{1}Y_{2}Z_{1}Z_{2}$ βγαίνουν ομοκωνικά με τον ίδιο τρόπο.
$\cdot$ Τα υπογραμμισμένα σκέλη της λύσης χαλάνε:
Πλέον δε γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιες του BFEC

περνούν από τα Y,Z

(και αναλόγως για τα αντίστοιχα τετράπλευρα) οπότε δεν μπορούμε να μιλήσουμε απευθείας για τη συζυγία των Y,Z

στις ενελίξεις που προκύπτουν.
Όμως,μπορούμε εύκολα να μεταφέρουμε το όλο επιχείρημα της ταύτισης των ενελίξεων,καθώς και γενικά τα υπογραμμισμένα,αντί για το BFEC

(και τα αντίστοιχά του) στο BC'B'C

(και τα αντίστοιχά του) όπου A'B'C'

το ορθικό τρίγωνο του ABC

:Ισχύουν οι ίδιες συντρέχειες με παραπάνω κλπ.
Edit:1000000 Διόρθωση

min## · #3

Μια σύντομη υπενθύμιση ορισμών (αλά Google Translate

)-αν και κάποιοι από τους παρακάτω δεν είναι οι επίσημοι,είναι αυτοί που βολεύουν για τα παραπάνω:
Προβολικότητα μεταξύ δύο σημειοσειρών (=σειρών σημείων) σε ευθείες $l_{1},l_{2}$ είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση

που διατηρεί το Διπλό λόγο κάθε τετράδας σημείων που αντιστοιχίζεται.
Δυικά ορίζεται και η Προβολικότητα μεταξύ δέσμεων ευθειών.
Αν υπάρχει τέτοια αντιστοίχιση,λέμε ότι οι σημειοσειρές (ή δέσμες) είναι Προβολικές μεταξύ τους.
Ειδική περίπτωση Προβολικότητας είναι η Προοπτικότητα(μεταξύ ευθειών,και Δυικά,δέσμεων):Ισχύει επιπλέον ότι το κοινό σημείο των ευθειών (αν επεκτείνουμε την Προβολικότητα σε όλο το μήκος των ευθειών) αντιστοιχίζεται στον εαυτό του.(Δυικά,η κοινή ευθεία δέσμεων).Για τις Προοπτικότητες συγκεκριμένα,ισχύει ότι η ευθείες Af(A)

περνούν από σταθερό σημείο.
Πιο "ορθόδοξα",μια Προοπτικότητα προκύπτει άμα προβάλλουμε μια σημειοσειρά της $l_{1}$ από την $l_{1}$ στην $l_{2}$ από σταθερό σημείο

(κέντρο Προοπτικότητας).

Από τους ορισμούς προκύπτει ότι η σύνθεση Προβολικοτήτων είναι Προβολικότητα (ενώ δεν ισχύει το ίδιο για τις Προοπτικότητες).
Φυσικά άμα τοποθετήσουμε την ευθεία $l_{1}$ στην $l_{2}$ μπορούμε να κάνουμε λόγο για Προβολικότητα σε ευθεία:Η απεικόνιση λαμβάνει χώρα πάνω στην ευθεία.
Ακόμα,μπορούμε να κάνουμε λόγο για Προβολικότητες/Προοπτικότητες μεταξύ κινούμενων σημείων:Απλώς θεωρούμε τις σημειοσειρές που διαγράφουν και εφαρμόζουμε τους παραπάνω ορισμούς.

Ενέλιξη τώρα είναι μια Προβολικότητα (σε μια ευθεία για αρχή,όπως παραπάνω) με την επιπρόσθετη προϋπόθεση ότι f(f(A))=A

για κάθε σημείο

της ευθείας/σημειοσειράς.
Αποδεικνύεται ότι ενώ εν γένει μια Προβολικότητα σε ευθεία καθορίζεται πλήρως από

ζεύγη αντιστοιχιζόμενων σημείων,για μια Ενέλιξη αρκούν

ζεύγη (προκύπτει από τους ορισμούς).Επιπλέον,μια Προβολικότητα που περιέχει ένα ζεύγος αλληλοαντιστοιχιζόμενων σημείων,αλληλοαντιστοιχίζει όλα τα σημεία και επομένως είναι Ενέλιξη.
Συνάμα,αποδεικνύεται ότι οι έννοιες της "Εξέλιξης σε ευθεία" και της "Αντιστροφής (σημείων της ευθείας) ως προς κύκλο με κέντρο στην ευθεία" είναι ταυτόσημες.

Πάμε τώρα στο Desargues

(αποδίδεται και στον Πάππο μια μορφή του).

Οι απέναντι πλευρές/διαγώνιοι ενός οποιουδήποτε πλήρους τετραπλεύρου "κόβουν" μια οποιαδήποτε ευθεία σε συζυγή σημεία μιας Ενέλιξης.

Προσέξτε ότι το θεώρημα μας δίνει

ζεύγη οπότε όντως είναι χρήσιμο.(από

ζεύγη έτσι κι αλλιώς καθορίζεται μια Ενέλιξη).

Επιπλέον,το ίδιο θεώρημα μας λέει ότι οποιαδήποτε κωνική περνάει από τα A,B,C,D

κόβει την ευθεία σε συζυγή σημεία της ίδιας Ενέλιξης.
Μας δίνει λοιπόν άπειρα ζεύγη.
Έτσι έχουμε το ισοδύναμο: Μια οικογένεια κωνικών (κωνικές που διέρχονται από σταθερά σημεία ) κόβει μια οποιαδήποτε ευθεία σε συζυγή σημεία μιας Ενέλιξης.
Αυτά πάνω κάτω αρκούν πιστεύω.

Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Μέλη σε σύνδεση