Ίσες τεθλασμένες

#1

: Ίσες τεθλασμένες.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Έστω

οι διχοτόμοι τριγώνου ABC

και

Αν $\widehat A=60^\circ,$ να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες $\widehat B, \widehat C$ του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 12, 2020 7:31 pm
Ίσες τεθλασμένες.png
Έστω οι διχοτόμοι τριγώνου και

Αν $\widehat A=60^\circ,$ να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες $\widehat B, \widehat C$ του τριγώνου.

: Τεθλασμένες ίσες_oritziin_ok.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

Οι γωνίες είναι : $\widehat {{B_{}}} = 80^\circ \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{C_{}}} = 40^\circ$ αλλιώς έχουμε μαθηματικό αδιέξοδο

: Τεθλασμένες ίσες_oritziin.png (24.72 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές

Ας υποθέσω τώρα ότι π. χ. $\widehat {ABC} < 80^\circ$ . Στην ημιευθεία

θεωρώ σημείο

με $\boxed{ES = EB}$ , στην ημιευθεία

σημείο

με $\boxed{BT = BD}$

Άμεσες συνέπειες:

α) Το τρίγωνο ATS

είναι ισόπλευρο και τα τρίγωνα $ATD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASD$ ίσα.

: Τεθλασμένες ίσες_oritziin_ατοπο.png (31.56 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

β) Αβίαστα προκύπτουν: $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}\,$ και αφού στο ισοσκελές $\vartriangle BTD$ η $\widehat {ABC}$ είναι εξωτερική .

$\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} + \widehat {{\theta _4}} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}$

ενώ από τα ίσα τρίγωνα , $ATD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASD$ έχω $\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _5}}\,\,$ δηλαδή: $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}} = \widehat {{\theta _5}}$ .

Όμως το $\vartriangle EBS$ είναι ισοσκελές οπότε : $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} \Rightarrow DB = DS = DT$ δηλαδή το τρίγωνο ETD

είναι ισόπλευρο , άτοπο .

Όμοια εργαζόμαστε αν $\widehat {ABC} > 80^\circ$

#3

Να ευχαριστήσω τον Νίκο για την πολύ ωραία γεωμετρική λύση. Η άσκηση είναι από την 42η ΙΜΟ του 2001 στις ΗΠΑ.

Εδώ μπορείτε να δείτε και άλλες συνθετικές, μετρικές και τριγωνομετρικές λύσεις.

Ίσες τεθλασμένες

Ίσες τεθλασμένες

Re: Ίσες τεθλασμένες

Re: Ίσες τεθλασμένες

Μέλη σε σύνδεση