Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Δίνεται τρίγωνο με το ύψος του και ας είναι , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Ο περίκυκλος έστω του τριγώνου επανατέμνει την στο σημείο και έστω , οι προβολές του σημείου , επί των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία και περνάει από σταθερό σημείο.
Κώστας Βήττας
Κώστας Βήττας
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Καλησπέρα.
Προσπάθησα να αποφύγω τη σύντομη λύση με Προβολική οπότε έκανα το ακόλουθο:
Παίρνω αρχικά αντιστροφή κέντρου και τυχαίας ακτίνας.
Με λίγη σκέψη το πρόβλημα γίνεται (τα γράμματα δεν αντιστοιχίζουν):
Για την απόδειξη αυτού θα χρησιμοποιήσω ένα κριτήριο ομοαξονικότητας κύκλων:
Δίνονται κύκλοι .Τυχαίο σημείο του επιπέδου διαγράφει κύκλο ομοαξονικό με τους αν και μόνο αν
όπου τα "" συμβολίζουν τη δύναμη του ως προς τον αντίστοιχο κύκλο.
Η απόδειξη του κριτηρίου είναι απλή με Καρτεσιανές ή και αντιστροφή.
Προσθήκη:Αν πχ. τα κέντρα των κύκλων είναι τα με συντεταγμένες αντίστοιχα και οι ακτίνες τους,τότε η παραπάνω εξίσωση δυνάμεων γίνεται με τις συντεταγμένες του σημείου .Η εξίσωση αυτή είναι κύκλου (ίδιοι οι συντελεστές των ) που περνάει από τα κοινά σημεία των (ως γραμμικός συνδυασμός αυτών/με απλό έλεγχο) κλπ...
Προσθήκη:Αν η σταθερά είναι ίση με έχουμε τον κλασικό ριζικό άξονα τον οποίο μπορούμε να δούμε σαν
"εκφυλισμένο κύκλο".Υπό αυτήν την έννοια το κριτήριο αποτελεί γενίκευση του Ριζικού άξονα.
Πίσω στο πρόβλημα τώρα:Δεν είναι δύσκολο να δούμε πως αν τότε ο για αυτή τη θέση-έστω εφάπτεται στην στο .
Ομοίως,για ο κύκλος για αυτή τη θέση-έστω ,εφάπτεται στην στο .
Αν τώρα πάρουμε μια τυχαία θέση των θέμε να δείξουμε πως ο (τυχαίος) περνάει από το σημείο τομής (εκτός του ) των ή αλλιώς ότι είναι ομοαξονικοί.
Από το κριτήριο και επειδή ήδη έχουν κοινό σημείο () αρκεί το οποίο φυσικά είναι .
Η παρατήρηση κλειδί είναι ότι (τα 2 σχήματα είναι όμοια).
Πράγματι:
Είναι και που δηλώνει ότι .
Επιπλέον που δηλώνει πως όντως .
Η (και συνεπώς το ζητούμενο) είναι πλέον άμεση από την παραπάνω ομοιότητα.
Υγ.'Επρεπε μάλλον να χρησιμοποιήσω "directed angles" γιατί υπάρχουν αρκετά "configuration issues"-πάντως το επιχείρημα δεν αλλάζει
edit:Προσθήκες
Προσπάθησα να αποφύγω τη σύντομη λύση με Προβολική οπότε έκανα το ακόλουθο:
Παίρνω αρχικά αντιστροφή κέντρου και τυχαίας ακτίνας.
Με λίγη σκέψη το πρόβλημα γίνεται (τα γράμματα δεν αντιστοιχίζουν):
(Προσθήκη:Η πραγματική αντιστοιχία είναι:(αριστερά το αρχικό σχήμα): και .)Δίνεται τρίγωνο με ορθόκεντρο και το ορθικό τρίγωνο.Στους κύκλους επιλέγουμε σημεία αντίστοιχα ώστε .Η τέμνει την στο ,ο κύκλος την στο και ο κύκλος την στο .Να δειχθεί ότι ο κύκλος περνάει από σταθερό σημείο καθώς μεταβάλλονται τα .
Για την απόδειξη αυτού θα χρησιμοποιήσω ένα κριτήριο ομοαξονικότητας κύκλων:
Δίνονται κύκλοι .Τυχαίο σημείο του επιπέδου διαγράφει κύκλο ομοαξονικό με τους αν και μόνο αν
όπου τα "" συμβολίζουν τη δύναμη του ως προς τον αντίστοιχο κύκλο.
Η απόδειξη του κριτηρίου είναι απλή με Καρτεσιανές ή και αντιστροφή.
Προσθήκη:Αν πχ. τα κέντρα των κύκλων είναι τα με συντεταγμένες αντίστοιχα και οι ακτίνες τους,τότε η παραπάνω εξίσωση δυνάμεων γίνεται με τις συντεταγμένες του σημείου .Η εξίσωση αυτή είναι κύκλου (ίδιοι οι συντελεστές των ) που περνάει από τα κοινά σημεία των (ως γραμμικός συνδυασμός αυτών/με απλό έλεγχο) κλπ...
Προσθήκη:Αν η σταθερά είναι ίση με έχουμε τον κλασικό ριζικό άξονα τον οποίο μπορούμε να δούμε σαν
"εκφυλισμένο κύκλο".Υπό αυτήν την έννοια το κριτήριο αποτελεί γενίκευση του Ριζικού άξονα.
Πίσω στο πρόβλημα τώρα:Δεν είναι δύσκολο να δούμε πως αν τότε ο για αυτή τη θέση-έστω εφάπτεται στην στο .
Ομοίως,για ο κύκλος για αυτή τη θέση-έστω ,εφάπτεται στην στο .
Αν τώρα πάρουμε μια τυχαία θέση των θέμε να δείξουμε πως ο (τυχαίος) περνάει από το σημείο τομής (εκτός του ) των ή αλλιώς ότι είναι ομοαξονικοί.
Από το κριτήριο και επειδή ήδη έχουν κοινό σημείο () αρκεί το οποίο φυσικά είναι .
Η παρατήρηση κλειδί είναι ότι (τα 2 σχήματα είναι όμοια).
Πράγματι:
Είναι και που δηλώνει ότι .
Επιπλέον που δηλώνει πως όντως .
Η (και συνεπώς το ζητούμενο) είναι πλέον άμεση από την παραπάνω ομοιότητα.
Υγ.'Επρεπε μάλλον να χρησιμοποιήσω "directed angles" γιατί υπάρχουν αρκετά "configuration issues"-πάντως το επιχείρημα δεν αλλάζει
edit:Προσθήκες
τελευταία επεξεργασία από min## σε Κυρ Ιαν 12, 2020 5:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Ο εκπληκτικός μας εντυπωσιάζει συνεχώς !vittasko έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 09, 2020 4:46 pmΔίνεται τρίγωνο με το ύψος του και ας είναι , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Ο περίκυκλος έστω του τριγώνου τέμνει την στο σημείο και έστω , οι προβολές του σημείο , επί των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία και περνάει από σταθερό σημείο.
Κώστας Βήττας
Δίδω μόνο την απάντηση. Δεν έχω Ευκλείδεια λύση.
Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς την ευθεία τότε το σταθερό σημείο , έστω , είναι η τομή των ευθειών :
.
Στο δυναμικό αρχείο που επισυνάπτω δώστε στο : Κίνηση ενεργή
- Συνημμένα
-
- Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.ggb
- (38.52 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Με άλλα λόγια, το σταθερό σημείο από το οποίο περνάει η μεταβλητή ευθεία ( το σημείο στο σχήμα του Νίκου ), είναι αυτό για το οποίο η κορυφή του δοσμένου τριγώνου ταυτίζεται με το -παράκεντρο του τριγώνου .Doloros έγραψε:Δίδω μόνο την απάντηση.
Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς την ευθεία τότε το σταθερό σημείο , έστω , είναι η τομή των ευθειών : .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ.
Νίκο, για να απολαύσει κάποιος τον χαρισματικό Μίνο με τις εντυπωσιακές λύσεις του, πρέπει να τον επαληθεύσει. Αλλά για να μπορεί να τον επαληθεύσει πρέπει να (ξανά) διαβάσει. Το "διάβασμα" όμως, θέλει και την σωστή ηλικία η οποία είναι φευγάτη για μερικούς ...Doloros έγραψε:Ο εκπληκτικός μας εντυπωσιάζει συνεχώς !
Ελπίζω να δίνει κάποιες λεπτομέρειες παραπάνω, ώστε να μπουν στο παιχνίδι της εκτεταμένης συνθετικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας και άλλοι ταλαντούχοι νέοι που συμμετέχουν αυτήν την περίοδο στα γεωμετρικά δρώμενα του .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Οι δια των σημείων κάθετες ευθείες επί των αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω και έστω τα σημεία και .
Το σημείο ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου ( προφανές ) και έστω τα σημεία και και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1 , έχουμε ότι οι ευθείες περνάνε από το σημείο και έστω τα σημεία και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2 , έχουμε ότι οι ευθείες περνάνε από τα σημεία , αντιστοίχως.
Από τα συνευθειακά σημεία και και , σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά και άρα, προκύπτει
Από το πλήρες τετράπλευρο τώρα, έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Από το εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο , σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal , έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Η δέσμη είναι αρμονική, λόγω της αρμονικής σημειοσειράς .
Η δέσμη αυτή τέμνεται από την ευθεία και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι στο πλήρες τετράπλευρο , η ευθεία που συνδέει τα σημεία της εκφώνησης ( = σημεία τομής των ευθειών των απέναντι πλευρών του ), περνάει από το σταθερό σημείο , ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη του και ας είναι , η προβολή του επί της . Έστω τα τυχόντα σημεία και ώστε να είναι και έστω , το σημείο τομής της από τον περίκυκλο του τριγώνου . Αποδείξτε ότι οι ευθείες περνάνε από το σημείο , όπου και .
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο με το ύψος του και ας είναι , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Ο περίκυκλος έστω του τριγώνου , τέμνει την στο σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .
Είναι προφανές ότι το σημείο ( = το ορθόκεντρο του ) ταυτίζεται με το έγκεντρο του και το σημείο του δοσμένου τριγώνου , ταυτίζεται με το -παράκεντρο του .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, για τα ως άνω Λήμμα 1 και Λήμμα 2 .
Το σημείο ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου ( προφανές ) και έστω τα σημεία και και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1 , έχουμε ότι οι ευθείες περνάνε από το σημείο και έστω τα σημεία και .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2 , έχουμε ότι οι ευθείες περνάνε από τα σημεία , αντιστοίχως.
Από τα συνευθειακά σημεία και και , σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά και άρα, προκύπτει
Από το πλήρες τετράπλευρο τώρα, έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Από το εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο , σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal , έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Η δέσμη είναι αρμονική, λόγω της αρμονικής σημειοσειράς .
Η δέσμη αυτή τέμνεται από την ευθεία και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι στο πλήρες τετράπλευρο , η ευθεία που συνδέει τα σημεία της εκφώνησης ( = σημεία τομής των ευθειών των απέναντι πλευρών του ), περνάει από το σταθερό σημείο , ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη του και ας είναι , η προβολή του επί της . Έστω τα τυχόντα σημεία και ώστε να είναι και έστω , το σημείο τομής της από τον περίκυκλο του τριγώνου . Αποδείξτε ότι οι ευθείες περνάνε από το σημείο , όπου και .
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο με το ύψος του και ας είναι , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Ο περίκυκλος έστω του τριγώνου , τέμνει την στο σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .
Είναι προφανές ότι το σημείο ( = το ορθόκεντρο του ) ταυτίζεται με το έγκεντρο του και το σημείο του δοσμένου τριγώνου , ταυτίζεται με το -παράκεντρο του .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, για τα ως άνω Λήμμα 1 και Λήμμα 2 .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Ορίζουμε το σημείο , ως το σημείο τομής της από την ευθεία και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ομοίως ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο με τα ύψη του και ας είναι , η προβολή του επί της . Έστω τα τυχόντα σημεία και ώστε να είναι και έστω , το σημείο τομής της από τον περίκυκλο του τριγώνου . Αποδείξτε ότι οι ευθείες περνάνε από το σημείο , όπου και .
Έστω το σημείο το διάφορο του .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο με
Από και
Από στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , λόγω , προκύπτει
Από και Από έχουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια και άρα, ισχύει
Από και
Από έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει λόγω .
Από και , συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ομοίως για τα σημεία και το ισοδύναμο ζητούμενο για το Λήμμα 1 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Από , έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα, ισχύειvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο με το ύψος του και ας είναι , τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, ώστε να είναι . Ο περίκυκλος έστω του τριγώνου , τέμνει την στο σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου .
Από
Από
Από και , λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , προκύπτει
Από συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και το Λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες