Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Παίρνουμε δύο σημεία A,B

στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση AB=1.

Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το

στο

που αποτελείται από

το πολύ

ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το

στο

) κάθε χρονική

στιγμή η απόστασή μας από το

ελαττώνεται.

Al.Koutsouridis · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2019 11:51 am
Παίρνουμε δύο σημεία στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση

Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το στο που αποτελείται από το πολύ

ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το στο ) κάθε χρονική

στιγμή η απόστασή μας από το ελαττώνεται.

Ελπίζω να μην χάνω κάτι...

: megisto_mhkos_monopatiou.png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Έστω $AA_{1}A_{2} \ldots A_{n-2}A_{n-1}B$ μια διαδρομή από το

στο

που αποτελείται από

ευθύγραμμα τμήματα. Παρατηρούμε ότι το μονοπάτι με τις ζητούμενες ιδιότητες δεν μπορεί να τέμνει τον εαυτό του, γιατί σε αυτή την περίπτωση δε θα ελαττώνονταν η απόσταση κάθε χρονική στιγμή. Επίσης για ένα δεδομένο

, μονοπάτι "μήκους" μικρότερου του

δεν μπορεί να είναι μέγιστο, αφού μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο με βάση ένα ήδη υπάρχον τμήμα και λόγω της τριγωνικής ανισότητας η νέα διαδρομή θα είναι μεγαλύτερη.

Εξετάζουμε το τρίγωνο $A_{n-2}A_{n-1}B$ . Η γωνία $A_{n-1}$ δεν μπορεί να είναι οξεία. Γιατί σε αυτή την περίπτωση στη διαδρομή $HA_{n-1}$ , όπου

η προβολή του

στην ευθεία $A_{n-2}A_{n-1}$ , η απόσταση από το

θα μεγάλωνε. Αν είναι αμβλεία, τότε από την τριγωνική ανισότητα θα έχουμε $A_{n-2}A_{n-1}+A_{n-1}B \leq A_{n-2}A_{n-1} +A_{n-1}H+HB =A_{n-2}H+HB$ . Δηλαδή σε ένα μέγιστο μονοπάτι η γωνία $A_{n-1}$ δεν μπορεί παρά να είναι ορθή.

Ομοίως, αναδρομικά θα ισχύει $A_{i}A_{i+1} \perp BA_{i+1}$ , σε ένα μέγιστο μονοπάτι.

Όμως $a_{1}^2 +b_{1}^2=1^2$ , $b_{1}^2=a_{2}^2+b_{2}^2$ , $\ldots$ , $b_{n-2}^2=a_{n-2}^2+a_{n-1}^2 \Rightarrow$ (βλέπε σχήμα)

$a_{1}^2+a_{2}^2+ \ldots +a_{n}^2 =1$ . Από την ανισότητα τετραγωνικού αριθμητικού μέσου έχουμε όμως,

$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n} \leq n \sqrt{\dfrac{a_{1}^2+a_{2}^2+ \ldots+ a_{n}^2}{n}} = \sqrt{n}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 09, 2019 12:06 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 08, 2019 11:51 am
Παίρνουμε δύο σημεία στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση

Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το στο που αποτελείται από το πολύ

ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το στο ) κάθε χρονική

στιγμή η απόστασή μας από το ελαττώνεται.
Ελπίζω να μην χάνω κάτι...

Εξαιρετικός

Al.Koutsouridis · #4

Και μια κατασκευή για το μέγιστο μονοπάτι που λείπει από την προηγούμενη ανάρτηση. Π.χ για n=5

.

Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Re: Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Re: Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Re: Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Μέλη σε σύνδεση