mathematica.gr • Ισεμβαδικότητα !

Σελίδα 1 από 1

Ισεμβαδικότητα !

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 17, 2019 12:29 pm

από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

: Ισεμβαδικότητα.png (40.85 KiB) Προβλήθηκε 1325 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι δύο ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας του ( $E,Q\in AC$ ) και ας είναι τα σημεία τομής των με τον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $\left( AB{B}'' \right)=\left( CB{B}'' \right)$ , όπου το συμμετρικό του ως προς την , με ${B}'\equiv E{Q}'\cap {E}'Q$

Η πηγή της έμπνευσης μετά τη λύση

Στάθης

Re: Ισεμβαδικότητα !

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 18, 2019 12:56 pm

από Διονύσιος Αδαμόπουλος

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η BB''

BB''

είναι διάμεσος του ABC

ABC

.

Έστω

το μέσο του

. Εύκολα προκύπτει ότι το E'MQ'

E'MQ'

είναι ισοσκελές (απλά συγκρίνουμε τα CMQ'

CMQ'

και

AME'

).

Έστω E''

E''

και

Q''

τα συμμετρικά των E', Q'

E', Q'

ως προς τo

.

Αφού

E''M=ME'=MQ'=Q''M

, παρατηρούμε πως το τρίγωνα E''Q'E'

E''Q'E'

και

Q''E'Q'

είναι ορθογώνια και πως τα E''

E''

και

Q''

είναι τα συμμετρικά των

και

ως προς την

.

Από την τελευταία συμμετρία προκύπτει ότι το B''

B''

συνιστά την τομή των QQ''

QQ''

και

EE''

.

Θέλουμε να δείξουμε πως η

διέρχεται από το B''

B''

, δηλαδή ότι οι ευθείες QQ'', EE'', BM

QQ'', EE'', BM

συντρέχουν.

Αρκεί τα τρίγωνα MQ''E''

MQ''E''

και

BQE

να είναι προοπτικά.

Ισχύει ότι η MQ''

MQ''

τέμνει την

στο

, ενώ η

ME''

τέμνει την

στο

.

Από

Desargues

αρκεί οι ευθείες Q''E''

Q''E''

,

Q'E'

,

να συντρέχουν, όμως αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα τελειώσαμε (ελπίζω να μην κάνω λάθος εδώ).

Αργότερα θα προσθέσω και το σχήμα!

Re: Ισεμβαδικότητα !

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 18, 2019 10:07 pm

από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

: image.jpeg (113.14 KiB) Προβλήθηκε 1138 φορές

Ειναι μια πρόταση του φίλου Kadir Altintas που αναρτηθηκε στους ρομαντικούς της γεωμετρίας

https://m.facebook.com/groups/parmenide ... view=group