Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μάιος 09, 2019 12:05 am

Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές
Έστω τρίγωνα \vartriangle ABC,\vartriangle DEC με \angle ACB,\angle ECD κατακορυφήν και τον ίδιο παρεγγεγραμμένο κύκλο \left( I \right) (κέντρου I ) που αντιστοιχεί στις γωνίες \angle A,\angle D . Να δειχθεί ότι η MN διέρχεται από το κέντρο I του εν λόγω κύκλου , όπου M,N τα μέσα των AD,BE αντίστοιχα.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 967
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Μάιος 09, 2019 12:50 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 09, 2019 12:05 am
Συνευθειακά.pngΈστω τρίγωνα \vartriangle ABC,\vartriangle DEC με \angle ACB,\angle ECD κατακορυφήν και τον ίδιο παρεγγεγραμμένο κύκλο \left( I \right) (κέντρου I ) που αντιστοιχεί στις γωνίες \angle A,\angle D . Να δειχθεί ότι η MN διέρχεται από το κέντρο I του εν λόγω κύκλου , όπου M,N τα μέσα των AD,BE αντίστοιχα.

Στάθης

Έστω A_{0}, B_{0}, D_{0}, E_{0} σημεία επαφής των ευθειών BC, AB, CE,DE με τον παρεγγεγραμμένο κύκλο αντίστοιχα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο κύκλος αυτός είναι ο μοναδιαίος z \bar z=1 του μιγαδικού επιπέδου. Στη συνέχεια με μικρά γράμματα συμβολίζουμε του μιγαδικούς οι εικόνες των οποίων αντιστοιχούν στα αντίστοιχα σημεία με κεφαλαία. Καθένα από τα σημεία A,D,B,E είναι σημείο τομής εφαπτομένων του μοναδιαίου κύκλου. Οπότε θα έχουμε

a=\dfrac{2b_{0}d_{0}}{b_{0}+d_{0}},  \quad   d=\dfrac{2a_{0}e_{0}}{a_{0}+e_{0}}  \quad \Rightarrow m=\dfrac{a+d}{2} =\dfrac{b_{0}d_{0}}{b_{0}+d_{0}} +\dfrac{a_{0}e_{0}}{a_{0}+e_{0}}

a=\dfrac{2b_{0}a_{0}}{b_{0}+a_{0}},  \quad   d=\dfrac{2d_{0}e_{0}}{d_{0}+e_{0}}  \quad \Rightarrow n=\dfrac{b+e}{2} =\dfrac{b_{0}a_{0}}{b_{0}+a_{0}} +\dfrac{d_{0}e_{0}}{d_{0}+e_{0}}

\dfrac{m}{n} = \dfrac{\left (a_{0}+b_{0} \right )\left (e_{0}+d_{0} \right )}{\left (b_{0}+d_{0} \right )\left (a_{0}+e_{0} \right )}

Λόγω του ότι τα παραπάνω σημεία ανήκουν στο κύκλο z\bar z=1 θα έχουμε

\dfrac{\bar m}{\bar n}=\dfrac{\left (\bar a_{0}+\bar b_{0} \right )\left (\bar e_{0}+\bar d_{0} \right )}{\left (\bar b_{0}+\bar d_{0} \right )\left (\bar a_{0}+\bar e_{0} \right )} = \dfrac{\left (\dfrac{1}{a_{0}}+\dfrac{1}{b_{0}} \right )\left (\dfrac{1}{e_{0}}+\dfrac{1}{d_{0}} \right )}{\left (\dfrac{1}{b_{0}}+\dfrac{1}{d_{0}} \right )\left (\dfrac{1}{a_{0}}+\dfrac{1}{e_{0}} \right )}= \dfrac{\left (a_{0}+b_{0} \right )\left (e_{0}+d_{0} \right )}{\left (b_{0}+d_{0} \right )\left (a_{0}+e_{0} \right )}

Οπότε έχουμε \dfrac{m}{n} =\dfrac{\bar m}{\bar n} . Άρα τα σημεία M,N,I είναι συνευθειακά.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μάιος 09, 2019 3:32 pm

Μια σύντομη που βασίζεται σε ένα αγαπημένο λημματάκι:
Έστω F η τομή AB,DE.Ισχύει για κάθε σημείοX της ευθείας Newton του πλήρους τετραπλεύρου BCEF.AD πως (BCX)+(EFX)=(CEX)+(FBX)=( BCEF)/2 και μάλιστα αυτά τα σημεία είναι τα μόνα με αυτή την ιδιότητα (δηλαδή ισχύει και το αντίστροφο).
Η απόδειξη για το ευθύ είναι απλή:Αρκεί κανείς να παρατηρήσει πως τα μέσα των διαγωνίων του τετραπλεύρου έχουν αυτήν την ιδιότητα και μετά να πάρει σημείο X στην ευθεία Newton.Μετά δείχνεται απλά με σύγκριση εμβαδών (το μόνο που χρειάζεται είναι πως η διάμεσος διαιρεί το τρίγωνο σε ισεμβαδικά τρίγωνα.).Το αντίστροφο προκύπτει και με άτοπο.

Για το πρόβλημα τώρα,είναι (IBC)+(IFE)=r(BC+FE),(ICE)+(IBF)=r(CE+BF).Είναι και BC+FE=CE+BF λόγω περιγραψιμότητας κι άρα το I ικανοποιεί τη συνθήκη του λήμματος κι άρα βρίσκεται στην ευθεία Newton του BCEF.AD κλπ.

Σημ.Βγαίνει και με κουνήματα


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Στον ίδιο δρόμο με το παράκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Μάιος 09, 2019 3:54 pm

Ουσιαστικά μιλάμε για άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Newton (b), στο μη κυρτό τετράπλευρο AEDB με παρεγγεγραμμένο κύκλο τον (I), σύμφωνα με το οποίο η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του AD,\ BE, περνάει από το κέντρο I του κύκλου (I).

Κώστας Βήττας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης