Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA225=FB2942b.jpg (43.22 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Εστω κυρτό τετράπλευρο ABCD

και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, $P\equiv AB \cap DC$ και $Q\equiv AD \cap BC$

Ας είναι επίσης K, M

τα μέσα των διαγωνίων του AC, BD

αντίστοιχα. Αν $L\equiv QM \cap PK$ και $N\equiv QK \cap PM$ , δείξτε ότι:

a. $LN\parallel PQ$

b. το KLMN

είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, το ABCD

είναι εγγράψιμο

#2

Το

ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές.

Πράγματι, η ευθεία

περνάει από το μέσον

του τμήματος

Ευθεία Gauss-Newton

και άρα, το τετράπλευρο PQNL

είναι τραπέζιο με $LN\parallel PQ$ .

$\bullet$ Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το ABCD

είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και το KLMN

είναι εγγράψιμο.

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle AQB,\ \angle APD$ τέμνονται σε σημείο έστω

, επί του τμήματος

γνωστό αποτέλεσμα από το παρελθόν, το οποίο έχει συζητηθεί στο

.

Στα όμοια τρίγωνα $\vartiangle QAC,\ \vartiangle QBD$ οι $QK,\ QM$ είναι ομόλογες διάμεσοι και άρα έχουμε $\angle AQK = \angle BQM\ \ \ ,(1)$

Η διχοτόμος

της γωνίας $\angle AQB$ ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας $\angle KQM$ και ομοίως, η διχοτόμος

της γωνίας $\angle APD$ ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας $\angle KPM$ .

Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου ABCD

, εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει $\angle PSQ = 90^{o}\ \ \ ,(2)$

$\bullet$ Έστω

, το συμμετρικό σημείο του

ως προς το

και έχουμε ότι το PSQT

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως ισχύει $QS\perp QT\ \ \ ,(3)$

Από (3)

και $\angle KQS = \angle MQS$ τώρα, προκύπτει ότι η σημειοσειρά $K,\ S,\ M,\ T$ είναι αρμονική και άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton,

έχουμε $(TM)(TK) = (RS)^{2} = (RT)^{2}\ \ \ ,(4)$

Από (4)

και

λόγω του ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle SPQ$ προκύπτει ότι $(TM)(TK) = (RQ)^{2}\ \ \ ,(5)$

Από (5)

έχουμε ότι η ευθεία $RQ\equiv PQ$ εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle KMN$ κατά το σημείο

και επομένως ισχύει $\angle QKM = \angle MQR\ \ \ ,(6)$

Από (6)

και $\angle MQR = \angle MLN$ λόγω $LN\parallel PQ\Rightarrow$ $\angle QKM\equiv \angle MKN = \angle MLN\ \ \ ,(7)$

Από (7)

συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο KLMN

είναι εγγράψιμο και το (b)

ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Αφήνεται στον αναγνώστη, η απόδειξη της εγγραψιμότητας του ABCD

όταν το

είναι εγγράψιμο.

#3

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 2:05 am
GEOMETRIA225=FB2942b.jpgΕστω κυρτό τετράπλευρο και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, $P\equiv AB \cap DC$ και $Q\equiv AD \cap BC$

Ας είναι επίσης τα μέσα των διαγωνίων του αντίστοιχα. Αν $L\equiv QM \cap PK$ και $N\equiv QK \cap PM$ , δείξτε ότι:

a. $LN\parallel PQ$

b. το είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, το είναι εγγράψιμο

Θάνο και Κώστα Καλησπέρα από Βρυξέλλες μεριά.

Αναφέρομαι στο σχήμα του Θάνου

Στην περίπτωση της εγγραψιμότητας του ABCD

η «προφανής ομοιότητα» των ζευγών των τριγώνων (μια γωνία και τις πλευρές που την περιέχουν ανάλογες) $\vartriangle AKQ-\vartriangle BMQ$ και $\vartriangle AKP-\vartriangle DMP$ οδηγεί εύκολα (γωνιακά) στην εγγραψιμότητα του KLMN

(απέναντι γωνίες παραπληρωματικές)

Με εκτίμηση

Στάθης

Υ.Σ. Το πρόβλημα συνεχίζει να ισχύει για τα σημεία τομής των ισογώνιων ως προς τις απέναντι πλευρές του αρχικού εγγεγραμμένου τετραπλεύρου

Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση