Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Απρ 22, 2019 2:05 am

GEOMETRIA225=FB2942b.jpg
GEOMETRIA225=FB2942b.jpg (43.22 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές
Εστω κυρτό τετράπλευρο ABCD και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, P\equiv AB \cap DC και Q\equiv AD \cap BC

Ας είναι επίσης K, M τα μέσα των διαγωνίων του AC, BD αντίστοιχα. Αν L\equiv QM \cap PK και N\equiv QK \cap PM, δείξτε ότι:

a. LN\parallel PQ

b. το KLMN είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, το ABCD είναι εγγράψιμο


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Απρ 22, 2019 11:36 pm

Το (a) ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές.

Πράγματι, η ευθεία KM περνάει από το μέσον R του τμήματος PQ ( Ευθεία Gauss-Newton ) και άρα, το τετράπλευρο PQNL είναι τραπέζιο με LN\parallel PQ.

\bullet Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το ABCD είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και το KLMN είναι εγγράψιμο.

Οι διχοτόμοι των γωνιών \angle AQB,\ \angle APD τέμνονται σε σημείο έστω S, επί του τμήματος KM ( γνωστό αποτέλεσμα από το παρελθόν, το οποίο έχει συζητηθεί στο :logo: ).

Στα όμοια τρίγωνα \vartiangle QAC,\ \vartiangle QBD οι QK,\ QM είναι ομόλογες διάμεσοι και άρα έχουμε \angle AQK = \angle BQM\ \ \ ,(1)

Η διχοτόμος QS της γωνίας \angle AQB ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας \angle KQM και ομοίως, η διχοτόμος PS της γωνίας \angle APD ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας \angle KPM.

Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου ABCD, εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει \angle PSQ = 90^{o}\ \ \ ,(2)

\bullet Έστω T, το συμμετρικό σημείο του S ως προς το R και έχουμε ότι το PSQT είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως ισχύει QS\perp QT\ \ \ ,(3)

Από (3) και \angle KQS = \angle MQS τώρα, προκύπτει ότι η σημειοσειρά K,\ S,\ M,\ T είναι αρμονική και άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton,

έχουμε (TM)(TK) = (RS)^{2} = (RT)^{2}\ \ \ ,(4)

Από (4) και RS = RP = RQ λόγω του ορθογωνίου τριγώνου \vartriangle SPQ προκύπτει ότι (TM)(TK) = (RQ)^{2}\ \ \ ,(5)

Από (5) έχουμε ότι η ευθεία RQ\equiv PQ εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου \vartriangle KMN κατά το σημείο Q

και επομένως ισχύει \angle QKM = \angle MQR\ \ \ ,(6)

Από (6) και \angle MQR = \angle MLN λόγω LN\parallel PQ\Rightarrow \angle QKM\equiv \angle MKN = \angle MLN\ \ \ ,(7)

Από (7) συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο KLMN είναι εγγράψιμο και το (b) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Αφήνεται στον αναγνώστη, η απόδειξη της εγγραψιμότητας του ABCD όταν το KLMN είναι εγγράψιμο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4048
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 23, 2019 12:06 am

sakis1963 έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 2:05 am
GEOMETRIA225=FB2942b.jpgΕστω κυρτό τετράπλευρο ABCD και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, P\equiv AB \cap DC και Q\equiv AD \cap BC

Ας είναι επίσης K, M τα μέσα των διαγωνίων του AC, BD αντίστοιχα. Αν L\equiv QM \cap PK και N\equiv QK \cap PM, δείξτε ότι:

a. LN\parallel PQ

b. το KLMN είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, το ABCD είναι εγγράψιμο
Θάνο και Κώστα Καλησπέρα από Βρυξέλλες μεριά.

Αναφέρομαι στο σχήμα του Θάνου

Στην περίπτωση της εγγραψιμότητας του ABCD η «προφανής ομοιότητα» των ζευγών των τριγώνων (μια γωνία και τις πλευρές που την περιέχουν ανάλογες) \vartriangle AKQ-\vartriangle BMQ και \vartriangle AKP-\vartriangle DMP οδηγεί εύκολα (γωνιακά) στην εγγραψιμότητα του KLMN (απέναντι γωνίες παραπληρωματικές)

Με εκτίμηση

Στάθης

Υ.Σ. Το πρόβλημα συνεχίζει να ισχύει για τα σημεία τομής των ισογώνιων ως προς τις απέναντι πλευρές του αρχικού εγγεγραμμένου τετραπλεύρου
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τρί Απρ 23, 2019 12:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης