Σελίδα 1 από 1

Συντρέχεια σε τετράπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 21, 2019 11:20 am
από sakis1963
GEOMETRIA223=FB2965.jpg
GEOMETRIA223=FB2965.jpg (31.29 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές
Εστω (K, R), (L, r) οι έγκυκλοι των τριγώνων ABC, DBC, ενός τετραπλεύρου ABCD.

Αν PQ (P \in (K), Q \in (L)), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των (K),(L), που δεν ανήκει στην BC, δείξτε ότι:

a. οι AP, DQ τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο KL

b. το ABCD είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, PQ//AD

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 01, 2021 8:05 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
sakis1963 έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:20 am
GEOMETRIA223=FB2965.jpg
Εστω (K, R), (L, r) οι έγκυκλοι των τριγώνων ABC, DBC, ενός τετραπλεύρου ABCD.

Αν PQ (P \in (K), Q \in (L)), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των (K),(L), που δεν ανήκει στην BC, δείξτε ότι:

a. οι AP, DQ τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο KL

b. το ABCD είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, PQ//AD
Μιας και πέρασε πολύς καιρός βάζω μία λύση για το A.
19.PNG
19.PNG (26.97 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
Σταθεροποιώ τους κύκλους και το σημείο B πάνω στην κάτω κοινή τους εφαπτόμενη(ευθεία e).
Κουνάω το A στην εφαπτόμενη του B προς τον κόκκινο κύκλο.
Εύκολα προκύπτει ότι η A\rightarrow C\rightarrrow είναι προβολική σύνδεση(το D κινήται στην εφαπτομένη από το B στον μπλε κύκλο).
Οπότε οι A\rightarrow PA\rightarrow R,A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow QD\rightarrow R'=DQ\cap KL είναι προβολικότητες.
Για να δείξουμε ότι τα R',R ταυτίζονται αρκεί λοιπόν αυτό να ισχύει για τρεις θέσεις του A
Όταν A\in PQ το C πάει στο J=PQ\cap (e) και ισχύει φυσικά J\in KL.
Το D θα πάει κάπου στην PQ οπότε R\equiv R'\equiv J
Όταν A\equiv B:
21.PNG
21.PNG (19.13 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
Το E πάει στο σημείο επαφής του αριστερά κύκλου με την e (οριακά αφού AE\equiv e) και τώρα είναι απλό να δούμε τις προβολικότητες στο σχήμα όταν κουνάμε πλέον το B στην e .Ελέγχουμε τις περιπτώσεις B=E,Q,G που βγαίνουν εύκολα και τελειώσαμε.
Όταν το A ανήκει στον αριστερά κύκλο:
20.PNG
20.PNG (31.07 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές
Το E πέφτει πάνω στο B και έτσι D είναι σημείο επαφής της εφαπτομένης από το B στον μπλε κύκλο.
Θέλουμε οι PA,KL,DQ να συντρέχουν , θα δείξω ότι οι PA,DQ περνάν από το B_1 που είναι η προβολή του B στην KL.
Πράγματι \angle LB_1D=\angle LBD=\angle LBY=\angle LB_1Y=\angle LB_1Q(το τελευταίο λόγω συμμετρίας) οπότε B_1,D,Q συνευθειακά, όμοια B_1,P,A συνευθειακά.


Για το Β. ίσως επανέλθω κάποια στιγμή, δεν κατάφερα ακόμη το αντίστροφο.

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 19, 2021 5:59 pm
από MAnTH05
Ας δούμε μία λύση και για το ερώτημα (B).
Ευθύ
Έστω R\equiv PQ \cap AC και S\equiv PQ \cap BD και Τ\equiv AC \cap BD
Αρχικά παρατηρούμε πως \angle DAC = \angle DBC = \phi Άρα για να δείξουμε ότι AD\parallel PQ αρκεί να δείξουμε ότι \angle QBC = \angle QPC, δηλαδή ότι το τετράπλευρο RSCB είναι εγγράψιμο.
Εφαρμόζουμε σύνθεση αξονικής συμμετρίας ως προς την κάθετη από το T στη BC και ομοιοθεσία κέντρου T με λόγο \frac{RB}{SC}. Με τον μετασχηματισμό αυτό στείλαμε το τρίγωνο ARB στοSDCάρα \angle ARB = \angle DSC = \theta. Ισχύει λοιπόν \angle BRC = \angle BSC = 180^{\circ} - \theta . Συνεπώς \angle QBC = \angle QRC = \angle DAC και το ζητούμενο έπεται.

Αντίστροφο
Όπως αποδείξαμε παραπάνω, το τετράπλευρο RSCB είναι εγγράψιμο, άρα \angle QPC = \angle QBC . Εφόσον \angle DAR = \angle QPC θα είναι και \angle DAC = \angle DBC, άρα και το ABCD είναι εγγράψιμο.
\square


Σχόλιο: Ο καθοριστικός ισχυρισμός ότι τα τρίγωνα ARB και SDC είναι όμοια μπορεί να αποδειχθεί και με πιο στοιχειώδη μέσα.
Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιήσαμε, όμως δεν προϋποθέτει ότι τα σημεία A, B, C  
 και D$ είναι ομοκυκλικά, γι' αυτό και μπορεί να εφαρμοστεί και για την επίλυση του αντίστροφου.