Συντρέχεια σε τετράπλευρο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Συντρέχεια σε τετράπλευρο
Αν (), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των , που δεν ανήκει στην , δείξτε ότι:
a. οι τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο
b. το είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν,
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο
Μιας και πέρασε πολύς καιρός βάζω μία λύση για το A.
Σταθεροποιώ τους κύκλους και το σημείο πάνω στην κάτω κοινή τους εφαπτόμενη(ευθεία ).
Κουνάω το στην εφαπτόμενη του προς τον κόκκινο κύκλο.
Εύκολα προκύπτει ότι η είναι προβολική σύνδεση(το κινήται στην εφαπτομένη από το στον μπλε κύκλο).
Οπότε οι είναι προβολικότητες.
Για να δείξουμε ότι τα ταυτίζονται αρκεί λοιπόν αυτό να ισχύει για τρεις θέσεις του
Όταν το πάει στο και ισχύει φυσικά .
Το θα πάει κάπου στην οπότε
Όταν : Το πάει στο σημείο επαφής του αριστερά κύκλου με την (οριακά αφού ) και τώρα είναι απλό να δούμε τις προβολικότητες στο σχήμα όταν κουνάμε πλέον το στην .Ελέγχουμε τις περιπτώσεις που βγαίνουν εύκολα και τελειώσαμε.
Όταν το ανήκει στον αριστερά κύκλο: Το πέφτει πάνω στο και έτσι είναι σημείο επαφής της εφαπτομένης από το στον μπλε κύκλο.
Θέλουμε οι να συντρέχουν , θα δείξω ότι οι περνάν από το που είναι η προβολή του στην .
Πράγματι (το τελευταίο λόγω συμμετρίας) οπότε συνευθειακά, όμοια συνευθειακά.
Για το Β. ίσως επανέλθω κάποια στιγμή, δεν κατάφερα ακόμη το αντίστροφο.
Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο
Ας δούμε μία λύση και για το ερώτημα .
Ευθύ
Έστω και και
Αρχικά παρατηρούμε πως Άρα για να δείξουμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι , δηλαδή ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Εφαρμόζουμε σύνθεση αξονικής συμμετρίας ως προς την κάθετη από το στη και ομοιοθεσία κέντρου με λόγο . Με τον μετασχηματισμό αυτό στείλαμε το τρίγωνο στοάρα . Ισχύει λοιπόν . Συνεπώς και το ζητούμενο έπεται.
Αντίστροφο
Όπως αποδείξαμε παραπάνω, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα . Εφόσον θα είναι και , άρα και το είναι εγγράψιμο.
Σχόλιο: Ο καθοριστικός ισχυρισμός ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια μπορεί να αποδειχθεί και με πιο στοιχειώδη μέσα.
Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιήσαμε, όμως δεν προϋποθέτει ότι τα σημεία , ,
και είναι ομοκυκλικά, γι' αυτό και μπορεί να εφαρμοστεί και για την επίλυση του αντίστροφου.
Ευθύ
Έστω και και
Αρχικά παρατηρούμε πως Άρα για να δείξουμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι , δηλαδή ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Εφαρμόζουμε σύνθεση αξονικής συμμετρίας ως προς την κάθετη από το στη και ομοιοθεσία κέντρου με λόγο . Με τον μετασχηματισμό αυτό στείλαμε το τρίγωνο στοάρα . Ισχύει λοιπόν . Συνεπώς και το ζητούμενο έπεται.
Αντίστροφο
Όπως αποδείξαμε παραπάνω, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα . Εφόσον θα είναι και , άρα και το είναι εγγράψιμο.
Σχόλιο: Ο καθοριστικός ισχυρισμός ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια μπορεί να αποδειχθεί και με πιο στοιχειώδη μέσα.
Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιήσαμε, όμως δεν προϋποθέτει ότι τα σημεία , ,
και είναι ομοκυκλικά, γι' αυτό και μπορεί να εφαρμοστεί και για την επίλυση του αντίστροφου.
- Συνημμένα
-
- geogebra-export.png (233.64 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές
Ματθαίος Κουκλέρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες