Συντρέχεια σε τετράπλευρο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Συντρέχεια σε τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Απρ 21, 2019 11:20 am

GEOMETRIA223=FB2965.jpg
GEOMETRIA223=FB2965.jpg (31.29 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές
Εστω (K, R), (L, r) οι έγκυκλοι των τριγώνων ABC, DBC, ενός τετραπλεύρου ABCD.

Αν PQ (P \in (K), Q \in (L)), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των (K),(L), που δεν ανήκει στην BC, δείξτε ότι:

a. οι AP, DQ τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο KL

b. το ABCD είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, PQ//AD


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 821
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 01, 2021 8:05 pm

sakis1963 έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:20 am
GEOMETRIA223=FB2965.jpg
Εστω (K, R), (L, r) οι έγκυκλοι των τριγώνων ABC, DBC, ενός τετραπλεύρου ABCD.

Αν PQ (P \in (K), Q \in (L)), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των (K),(L), που δεν ανήκει στην BC, δείξτε ότι:

a. οι AP, DQ τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο KL

b. το ABCD είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, PQ//AD
Μιας και πέρασε πολύς καιρός βάζω μία λύση για το A.
19.PNG
19.PNG (26.97 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Σταθεροποιώ τους κύκλους και το σημείο B πάνω στην κάτω κοινή τους εφαπτόμενη(ευθεία e).
Κουνάω το A στην εφαπτόμενη του B προς τον κόκκινο κύκλο.
Εύκολα προκύπτει ότι η A\rightarrow C\rightarrrow είναι προβολική σύνδεση(το D κινήται στην εφαπτομένη από το B στον μπλε κύκλο).
Οπότε οι A\rightarrow PA\rightarrow R,A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow QD\rightarrow R'=DQ\cap KL είναι προβολικότητες.
Για να δείξουμε ότι τα R',R ταυτίζονται αρκεί λοιπόν αυτό να ισχύει για τρεις θέσεις του A
Όταν A\in PQ το C πάει στο J=PQ\cap (e) και ισχύει φυσικά J\in KL.
Το D θα πάει κάπου στην PQ οπότε R\equiv R'\equiv J
Όταν A\equiv B:
21.PNG
21.PNG (19.13 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Το E πάει στο σημείο επαφής του αριστερά κύκλου με την e (οριακά αφού AE\equiv e) και τώρα είναι απλό να δούμε τις προβολικότητες στο σχήμα όταν κουνάμε πλέον το B στην e .Ελέγχουμε τις περιπτώσεις B=E,Q,G που βγαίνουν εύκολα και τελειώσαμε.
Όταν το A ανήκει στον αριστερά κύκλο:
20.PNG
20.PNG (31.07 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Το E πέφτει πάνω στο B και έτσι D είναι σημείο επαφής της εφαπτομένης από το B στον μπλε κύκλο.
Θέλουμε οι PA,KL,DQ να συντρέχουν , θα δείξω ότι οι PA,DQ περνάν από το B_1 που είναι η προβολή του B στην KL.
Πράγματι \angle LB_1D=\angle LBD=\angle LBY=\angle LB_1Y=\angle LB_1Q(το τελευταίο λόγω συμμετρίας) οπότε B_1,D,Q συνευθειακά, όμοια B_1,P,A συνευθειακά.


Για το Β. ίσως επανέλθω κάποια στιγμή, δεν κατάφερα ακόμη το αντίστροφο.


Άβαταρ μέλους
MAnTH05
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 20, 2020 7:43 pm

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MAnTH05 » Τρί Ιαν 19, 2021 5:59 pm

Ας δούμε μία λύση και για το ερώτημα (B).
Ευθύ
Έστω R\equiv PQ \cap AC και S\equiv PQ \cap BD και Τ\equiv AC \cap BD
Αρχικά παρατηρούμε πως \angle DAC = \angle DBC = \phi Άρα για να δείξουμε ότι AD\parallel PQ αρκεί να δείξουμε ότι \angle QBC = \angle QPC, δηλαδή ότι το τετράπλευρο RSCB είναι εγγράψιμο.
Εφαρμόζουμε σύνθεση αξονικής συμμετρίας ως προς την κάθετη από το T στη BC και ομοιοθεσία κέντρου T με λόγο \frac{RB}{SC}. Με τον μετασχηματισμό αυτό στείλαμε το τρίγωνο ARB στοSDCάρα \angle ARB = \angle DSC = \theta. Ισχύει λοιπόν \angle BRC = \angle BSC = 180^{\circ} - \theta . Συνεπώς \angle QBC = \angle QRC = \angle DAC και το ζητούμενο έπεται.

Αντίστροφο
Όπως αποδείξαμε παραπάνω, το τετράπλευρο RSCB είναι εγγράψιμο, άρα \angle QPC = \angle QBC . Εφόσον \angle DAR = \angle QPC θα είναι και \angle DAC = \angle DBC, άρα και το ABCD είναι εγγράψιμο.
\square


Σχόλιο: Ο καθοριστικός ισχυρισμός ότι τα τρίγωνα ARB και SDC είναι όμοια μπορεί να αποδειχθεί και με πιο στοιχειώδη μέσα.
Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιήσαμε, όμως δεν προϋποθέτει ότι τα σημεία A, B, C  
 και D$ είναι ομοκυκλικά, γι' αυτό και μπορεί να εφαρμοστεί και για την επίλυση του αντίστροφου.
Συνημμένα
geogebra-export.png
geogebra-export.png (233.64 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές


R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = 
 {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης