sakis1963 έγραψε: ↑Κυρ Απρ 21, 2019 11:20 am
GEOMETRIA223=FB2965.jpg
Εστω

οι έγκυκλοι των τριγώνων

, ενός τετραπλεύρου

.
Αν

(

), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των

, που δεν ανήκει στην

, δείξτε ότι:
a. οι

τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο
b. το

είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν,
Μιας και πέρασε πολύς καιρός βάζω μία λύση για το A.

- 19.PNG (26.97 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Σταθεροποιώ τους κύκλους και το σημείο

πάνω στην κάτω κοινή τους εφαπτόμενη(ευθεία

).
Κουνάω το

στην εφαπτόμενη του

προς τον κόκκινο κύκλο.
Εύκολα προκύπτει ότι η

είναι προβολική σύνδεση(το

κινήται στην εφαπτομένη από το

στον μπλε κύκλο).
Οπότε οι

είναι προβολικότητες.
Για να δείξουμε ότι τα

ταυτίζονται αρκεί λοιπόν αυτό να ισχύει για τρεις θέσεις του

Όταν

το

πάει στο

και ισχύει φυσικά

.
Το

θα πάει κάπου στην

οπότε

Όταν

:

- 21.PNG (19.13 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Το

πάει στο σημείο επαφής του αριστερά κύκλου με την

(οριακά αφού

) και τώρα είναι απλό να δούμε τις προβολικότητες στο σχήμα όταν κουνάμε πλέον το

στην

.Ελέγχουμε τις περιπτώσεις

που βγαίνουν εύκολα και τελειώσαμε.
Όταν το

ανήκει στον αριστερά κύκλο:

- 20.PNG (31.07 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Το

πέφτει πάνω στο

και έτσι

είναι σημείο επαφής της εφαπτομένης από το

στον μπλε κύκλο.
Θέλουμε οι

να συντρέχουν , θα δείξω ότι οι

περνάν από το

που είναι η προβολή του

στην

.
Πράγματι

(το τελευταίο λόγω συμμετρίας) οπότε

συνευθειακά, όμοια

συνευθειακά.
Για το Β. ίσως επανέλθω κάποια στιγμή, δεν κατάφερα ακόμη το αντίστροφο.