Από ισοσκελή σε ισοσκελές

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3950
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Απρ 04, 2019 9:03 pm

Από ισοσκελή σε ισοσκελές.png
Από ισοσκελή σε ισοσκελές.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Έστω τμήμα BC και τυχόν σημείο του A διαφορετικό από τα άκρα του και ας είναι \vartriangle DAB,\vartriangle EAC ισοσκελή (όχι όμοια) τρίγωνα , με DB=DA,EC=EA προς το ίδιο ημιεπίπεδο της BC . Αν K,L είναι τα σημεία τομής των εκ του A καθέτων επί τις BD,CE με τις CE,BD αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τρίγωνο \vartriangle FPA είναι ισοσκελές , όπου P,F είναι τα σημεία τομής των KL,DE με τις BC , KL αντίστοιχα.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3950
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 07, 2019 1:32 am

Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny ;)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 07, 2019 2:47 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Κυρ Απρ 07, 2019 1:32 am
Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny ;)
Μετά την αφιέρωση δεν έμειναν και πολλά να λύσουμε :D ...

apo_isoskelh_se_isoskelh.png
apo_isoskelh_se_isoskelh.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Έστω M το σημείο τομής των ευθειών BD και CE. Τότε το σημείο A είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου LKM. Η ευθεία BC διέρχεται από το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Κατασκευάζουμε την κάθετη σε αυτή ευθεία που διέρχεται από το σημείο A. Έστω Q το σημείο τομής της με την ευθεία CE και H με την KL αντίστοιχα.

Το τρίγωνο AQC είναι ορθογώνιο και επειδή AEC ισοσκελές, το σημείο E θα είναι το μέσο του τμήματος QC. Ομοίως D το μέσο του τμήματος BZ. Από το θεώρημα Droz-Farny έχουμε ότι τα μέσα E, D και το μέσο του τμήματος PH είναι συνευθειακά. Άρα το σημείο F ταυτίζεται με το μέσο του PH. Το τρίγωνο AHP είναι ορθογώνιο και επομένως θα έχουμε FP=FA.


min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Απρ 07, 2019 3:52 pm

Καλησπέρα.Ο σκοπός δεν είναι να δείξουμε το Farny-Droz,ιδίως από τη στιγμή που η σύνδεση είναι σχεδόν άμεση;(άλλωστε δεν είναι και το πιο γνωστό θεωρηματάκι :lol: )(Έχω μια λύση με αντιστροφή (πέρα από τις διάφορες γνωστές) και αν μπορέσω θα τη γράψω μόλις αποκτήσω πρόσβαση σε λογισμικό.)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 07, 2019 11:46 pm

Ανεξάρτητη (δική μου) απόδειξη για το θεώρημα Droz-Farny δεν έχω. Η μια που ξέρω βασίζεται σε μερικές ιδιότητες της παραβολής που εφάπτεται των δυο κάθετων ευθειών και της ευθείας BD του παραπάνω σχήματος.

Η άλλη βασίζεται στο λήμμα:

Αν τα τρίγωνα ABC και A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} είναι συμμετρικά ως προς κέντρο συμμετρίας και από τα σημεία A^{\prime}, B^{\prime} και C^{\prime} άγουμε τρεις παράλληλες ευθείες, τότε τα σημεία τομής τους με τις BC, CA και AB αντίστοιχα είναι συνευθειακά.


min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Απρ 08, 2019 4:02 pm

Μάλιστα...Παραθέτω μια σύντομη λύση (για την ισοδύναμη μορφή:ABC τρίγωνο,H ορθόκεντρο,l,l' κάθετες ευθείες διερχόμενες εξ αυτού που τέμνουν τις AB,BC,CA στα (J,K),(D,E),(G,F) αντίστοιχα.Τότε τα μέσα των JI,DE,FG είναι συνευθειακά):

Αρκεί οι (JHI),(DHE),(GHF) να συντρέχουν.Δείχνω ότι οποιοιδήποτε από αυτούς τέμνονται στον (ABC) οπότε θα έχω τελειώσει.Έστω M η τομή (JHI),(GHF).Αρκεί τo M να ανήκει στον (ABC).Παίρνω αντιστροφή κέντρου H που στέλνει τα A,B,C στις προβολες τους στις αντίστοιxες πλευρές.

Το πρόβλημα μετασχηματίζεται στο εξής:Έστω τρίγωνο ABC,H το έκκεντρο ,J σημείο επί του (AHB),I το αντιδιαμετρικό του,F η τομή HI,(AHC) και G το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο αυτό.Νδο. η τομή JI,FG κείτεται επί του (ABC).
droz farny124.png
droz farny124.png (55.78 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Καθώς το J κινείται στον κύκλο του,η JI περνάει από το σταθερό σημείο X μέσο του τόξου AB και κέντρο του κύκλου AHB
.Ομοίως και για την FG (μέσο του τόξου AC και κέντρο του AHC το Y).Παίρνω ως R την τομή JI,FG και παίρνω σημείο J'
στον (AHB) ορίζοντας σημεία I',F',G' αντίστοιχα με πριν.Είναι \angle R'XR =\angle IXJ'=2\angle IHJ'=2\angle FHG'=\angle FYG'=\angle RYR' δηλαδή RXYR' εγγράψιμο.Άρα ο τόπος του R είναι κύκλος.Με απλό έλεγχο (για κατάλληλοJ,J\equiv A
) το R μπορεί να συμπέσει με το A,άρα το R κινείται στον (XAY)\equiv (ABC) και το ζητούμενο δείχτηκε..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης