Από ισοσκελή σε ισοσκελές

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Από ισοσκελή σε ισοσκελές.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Έστω τμήμα και τυχόν σημείο του διαφορετικό από τα άκρα του και ας είναι ισοσκελή (όχι όμοια) τρίγωνα , με προς το ίδιο ημιεπίπεδο της . Αν είναι τα σημεία τομής των εκ του καθέτων επί τις με τις αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές , όπου είναι τα σημεία τομής των με τις , αντίστοιχα.

Στάθης

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny

[Al.Koutsouridis]

Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny

Μετά την αφιέρωση δεν έμειναν και πολλά να λύσουμε ...

apo_isoskelh_se_isoskelh.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Τότε το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία διέρχεται από το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Κατασκευάζουμε την κάθετη σε αυτή ευθεία που διέρχεται από το σημείο . Έστω το σημείο τομής της με την ευθεία και με την αντίστοιχα.

Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και επειδή ισοσκελές, το σημείο θα είναι το μέσο του τμήματος . Ομοίως το μέσο του τμήματος . Από το θεώρημα Droz-Farny έχουμε ότι τα μέσα , και το μέσο του τμήματος είναι συνευθειακά. Άρα το σημείο ταυτίζεται με το μέσο του . Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και επομένως θα έχουμε .

[min##]

Καλησπέρα.Ο σκοπός δεν είναι να δείξουμε το Farny-Droz,ιδίως από τη στιγμή που η σύνδεση είναι σχεδόν άμεση;(άλλωστε δεν είναι και το πιο γνωστό θεωρηματάκι )(Έχω μια λύση με αντιστροφή (πέρα από τις διάφορες γνωστές) και αν μπορέσω θα τη γράψω μόλις αποκτήσω πρόσβαση σε λογισμικό.)

[Al.Koutsouridis]

Ανεξάρτητη (δική μου) απόδειξη για το θεώρημα Droz-Farny δεν έχω. Η μια που ξέρω βασίζεται σε μερικές ιδιότητες της παραβολής που εφάπτεται των δυο κάθετων ευθειών και της ευθείας του παραπάνω σχήματος.

Η άλλη βασίζεται στο λήμμα:

Αν τα τρίγωνα και είναι συμμετρικά ως προς κέντρο συμμετρίας και από τα σημεία , και άγουμε τρεις παράλληλες ευθείες, τότε τα σημεία τομής τους με τις και αντίστοιχα είναι συνευθειακά.

[min##]

Μάλιστα...Παραθέτω μια σύντομη λύση (για την ισοδύναμη μορφή: τρίγωνο, ορθόκεντρο, κάθετες ευθείες διερχόμενες εξ αυτού που τέμνουν τις στα αντίστοιχα.Τότε τα μέσα των είναι συνευθειακά):

Αρκεί οι να συντρέχουν.Δείχνω ότι οποιοιδήποτε από αυτούς τέμνονται στον οπότε θα έχω τελειώσει.Έστω η τομή .Αρκεί τo να ανήκει στον .Παίρνω αντιστροφή κέντρου που στέλνει τα στις προβολες τους στις αντίστοιxες πλευρές.

Το πρόβλημα μετασχηματίζεται στο εξής:Έστω τρίγωνο , το έκκεντρο , σημείο επί του , το αντιδιαμετρικό του, η τομή , και το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο αυτό.Νδο. η τομή κείτεται επί του .

droz farny124.png (55.78 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Καθώς το κινείται στον κύκλο του,η περνάει από το σταθερό σημείο μέσο του τόξου και κέντρο του κύκλου
.Ομοίως και για την (μέσο του τόξου και κέντρο του το ).Παίρνω ως την τομή και παίρνω σημείο
στον ορίζοντας σημεία αντίστοιχα με πριν.Είναι δηλαδή εγγράψιμο.Άρα ο τόπος του είναι κύκλος.Με απλό έλεγχο (για κατάλληλο,
) το μπορεί να συμπέσει με το ,άρα το κινείται στον και το ζητούμενο δείχτηκε..