Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Δίνεται σκαληνό τρίγωνο . Από σημείο της τεθλασμένης γραμμής που διχοτομεί αυτήν,
θεωρούμε ευθεία παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας .
Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες και .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και διέρχονται από το ίδιο σημείο.
θεωρούμε ευθεία παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας .
Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες και .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Παίρνουμε το μέσο της και φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο της που τέμνει τις στα .Είναι δηλαδή .Από νόμο Ημιτόνων στα και επειδή μέσο,προκύπτει .Έτσι πλέον,από παραλληλίες/ομοιοθεσία οι είναι οι διχοτόμοι του διαμεσικού τριγώνου και άρα συντρέχουν στο έκκεντρό του κλπ.
(Το σημείο αυτό είναι το κέντρο βάρους της περιμέτρου του τριγώνου).
(Το σημείο αυτό είναι το κέντρο βάρους της περιμέτρου του τριγώνου).
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Αποδεικνύεται ότι το είναι η προβολή του μέσου του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (*).
Έστω και τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας και της ευθείας στην πλευρά αντίστοιχα.
Τότε, από το θεώρημα διχοτόμων
.
Επίσης, εφόσον .
Από (1) και (2) προκύπτει ότι το μέσο της , δηλαδή, η ευθεία διέρχεται από το μέσο της πλευράς .
Όμοια, οι ευθείες και θα διέρχονται από τα μέσα και των και αντίστοιχα.
Στο παραλληλόγραμμο η είναι διχοτόμος της γωνίας , και εφόσον , τότε η διχοτόμος της γωνίας
(Οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών παραλληλογράμμου είναι παράλληλες).
Όμοια, οι ευθείες και είναι οι διχοτόμοι των γωνιών και του .
Ως εκ τούτου, θα διέρχονται από το ίδιο σημείο.
(*) Λήμμα Αρχιμήδη Σε τόξο κύκλου εγγράφεται η τεθλασμένη γραμμή που αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα .
Να αποδείξετε ότι το ίχνος της καθέτου που άγεται από το μέσο του τόξου στο ευθύγραμμο τμήμα διχοτομεί τη τεθλασμένη γραμμή: .
Ο Αρχιμήδης δημοσίευσε αυτό το πρόβλημα στην πραγματεία του "Περί Κύκλων" (Το βιβλίο Περί Κύκλων του Αρχιμήδη δεν διασώθηκε. Η πρόταση όμως αυτή με τρεις αποδείξεις περιλαμβάνεται και στην πραγματεία "Περί των εφαπτομένων κύκλων" με αριθμό 14)). Για περισσότερες πληροφορίες επ' αυτού βλέπε "ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΑΠΑΝΤΑ" Ευάγγελου Σταμάτη, Έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου της Ελλάδος- ΑΘΗΝΑΙ 1974.) με την επόμενη διατύπωση:
"Αν εις τυχόν τόξον κύκλου εναρμοσθεί (= εγγραφεί) τεθλασμένη γραμμή εκ δύο ανίσων τμημάτων και εκ του μέσου του τόξου αχθεί κάθετος επ' αυτήν, τα τμήματα της τεθλασμένης, της ούτω διαιρουμένης, είναι ίσα."
Αυτός ο ισχυρισμός έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν τα μήκη χορδών του αθροίσματος και της διαφοράς δύο δεδομένων τόξων.
Η απόδειξη του λήμματος δεν παρουσιάζει δυσκολία (όπως άλλωστε και το παραπάνω πρόβλημα).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
giannimani έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm(*) Λήμμα Αρχιμήδη Σε τόξο κύκλου εγγράφεται η τεθλασμένη γραμμή που αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα .
Να αποδείξετε ότι το ίχνος της καθέτου που άγεται από το μέσο του τόξου στο ευθύγραμμο τμήμα διχοτομεί τη τεθλασμένη γραμμή: .
Ο Αρχιμήδης δημοσίευσε αυτό το πρόβλημα στην πραγματεία του "Περί Κύκλων" (Το βιβλίο Περί Κύκλων του Αρχιμήδη δεν διασώθηκε. Η πρόταση όμως αυτή με τρεις αποδείξεις περιλαμβάνεται και στην πραγματεία "Περί των εφαπτομένων κύκλων" με αριθμό 14)). Για περισσότερες πληροφορίες επ' αυτού βλέπε "ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΑΠΑΝΤΑ" Ευάγγελου Σταμάτη, Έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου της Ελλάδος- ΑΘΗΝΑΙ 1974.) με την επόμενη διατύπωση:
"Αν εις τυχόν τόξον κύκλου εναρμοσθεί (= εγγραφεί) τεθλασμένη γραμμή εκ δύο ανίσων τμημάτων και εκ του μέσου του τόξου αχθεί κάθετος επ' αυτήν, τα τμήματα της τεθλασμένης, της ούτω διαιρουμένης, είναι ίσα."
Αυτός ο ισχυρισμός έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν τα μήκη χορδών του αθροίσματος και της διαφοράς δύο δεδομένων τόξων.
Η απόδειξη του λήμματος δεν παρουσιάζει δυσκολία (όπως άλλωστε και το παραπάνω πρόβλημα).
Στο φόρουμ έχει συζητηθεί αρκετές φορές το υπέροχο αυτό θεώρημα του Αρχιμήδη. Βλέπε π.χ. εδώ, λιγότερο εδώ και αλλού.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες