Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Σάβ Μαρ 30, 2019 10:26 am

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ABC. Από σημείο της τεθλασμένης γραμμής BAC που διχοτομεί αυτήν,
θεωρούμε ευθεία \ell_{A} παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας BAC.
Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες \ell_{B} και \ell_{C}.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \ell_{A}, \ell_{B} και \ell_{C} διέρχονται από το ίδιο σημείο.
bism.png
bism.png (41 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:13 pm

Ονομάζεται σημείο Spieker


min##
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Μαρ 31, 2019 7:32 pm

Παίρνουμε M το μέσο της BC και φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο της A\angle που τέμνει τις AC,AB στα P',K.Είναι AKP'\measuredangle =AP'K\measuredangle =A\measuredangle /2 δηλαδή AK=AP'.Από νόμο Ημιτόνων στα BKM,CP'M και επειδή M μέσο,προκύπτει BK=CP'\rightarrow BA+AP'=P'C\rightarrow P'\equiv P.Έτσι πλέον,από παραλληλίες/ομοιοθεσία οι l_{a},l_{b},l_{c} είναι οι διχοτόμοι του διαμεσικού τριγώνου και άρα συντρέχουν στο έκκεντρό του κλπ.
(Το σημείο αυτό είναι το κέντρο βάρους της περιμέτρου του τριγώνου).
speiker3.png
speiker3.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


giannimani
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm

thr_p.png
thr_p.png (57.11 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Υποθέτουμε ότι AB\, <BC\,<\, CA. Έστω P σημείο της τεθλασμένης γραμμής που τη διχοτομεί, δηλαδή, BA+AP=PC.
Αποδεικνύεται ότι το P είναι η προβολή του μέσου A' του τόξου BAC του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (*).
Έστω D και E τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας BAC και της ευθείας \ell_{A} στην πλευρά BC αντίστοιχα.
Τότε, από το θεώρημα διχοτόμων

\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} \implies \frac{AB+AC}{AC}= \frac{BD+CD}{CD}\implies \frac{AB+AC}{AC}=\frac{BC}{CD} \implies \frac{2PC}{AC}=\frac{BC}{CD}\quad (1).

Επίσης, εφόσον PE\parallel AD \implies \frac{CP}{AC}=\frac{CE}{CD}\implies \frac{2PC}{AC}=\frac{2CE}{CD}\quad (2).

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το E μέσο της BC, δηλαδή, η ευθεία \ell_{A} διέρχεται από το μέσο της πλευράς BC.
Όμοια, οι ευθείες \ell_{B} και \ell_{C} θα διέρχονται από τα μέσα F και G των AC και AB αντίστοιχα.
Στο παραλληλόγραμμο AGEF η AD είναι διχοτόμος της γωνίας A, και εφόσον \ell_{A}\parallel AD, τότε η \ell_{A} διχοτόμος της γωνίας E
(Οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών παραλληλογράμμου είναι παράλληλες).
Όμοια, οι ευθείες \ell_{B} και \ell_{C} είναι οι διχοτόμοι των γωνιών F και G του \vartriangle EFG.
Ως εκ τούτου, θα διέρχονται από το ίδιο σημείο.

(*) Λήμμα Αρχιμήδη Σε τόξο κύκλου AB εγγράφεται η τεθλασμένη γραμμή AMB που αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα AM\,>\,MB).
Να αποδείξετε ότι το ίχνος της καθέτου KH που άγεται από το μέσο K του τόξου AB στο ευθύγραμμο τμήμα AM διχοτομεί τη τεθλασμένη γραμμή: AH=HM+MB.

Ο Αρχιμήδης δημοσίευσε αυτό το πρόβλημα στην πραγματεία του "Περί Κύκλων" (Το βιβλίο Περί Κύκλων του Αρχιμήδη δεν διασώθηκε. Η πρόταση όμως αυτή με τρεις αποδείξεις περιλαμβάνεται και στην πραγματεία "Περί των εφαπτομένων κύκλων" με αριθμό 14)). Για περισσότερες πληροφορίες επ' αυτού βλέπε "ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΑΠΑΝΤΑ" Ευάγγελου Σταμάτη, Έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου της Ελλάδος- ΑΘΗΝΑΙ 1974.) με την επόμενη διατύπωση:

"Αν εις τυχόν τόξον κύκλου εναρμοσθεί (= εγγραφεί) τεθλασμένη γραμμή εκ δύο ανίσων τμημάτων και εκ του μέσου του τόξου αχθεί κάθετος επ' αυτήν, τα τμήματα της τεθλασμένης, της ούτω διαιρουμένης, είναι ίσα."

Αυτός ο ισχυρισμός έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν τα μήκη χορδών του αθροίσματος και της διαφοράς δύο δεδομένων τόξων.

Η απόδειξη του λήμματος δεν παρουσιάζει δυσκολία (όπως άλλωστε και το παραπάνω πρόβλημα).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11088
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 31, 2019 10:15 pm

giannimani έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm
(*) Λήμμα Αρχιμήδη Σε τόξο κύκλου AB εγγράφεται η τεθλασμένη γραμμή AMB που αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα AM\,>\,MB).
Να αποδείξετε ότι το ίχνος της καθέτου KH που άγεται από το μέσο K του τόξου AB στο ευθύγραμμο τμήμα AM διχοτομεί τη τεθλασμένη γραμμή: AH=HM+MB.

Ο Αρχιμήδης δημοσίευσε αυτό το πρόβλημα στην πραγματεία του "Περί Κύκλων" (Το βιβλίο Περί Κύκλων του Αρχιμήδη δεν διασώθηκε. Η πρόταση όμως αυτή με τρεις αποδείξεις περιλαμβάνεται και στην πραγματεία "Περί των εφαπτομένων κύκλων" με αριθμό 14)). Για περισσότερες πληροφορίες επ' αυτού βλέπε "ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΑΠΑΝΤΑ" Ευάγγελου Σταμάτη, Έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου της Ελλάδος- ΑΘΗΝΑΙ 1974.) με την επόμενη διατύπωση:

"Αν εις τυχόν τόξον κύκλου εναρμοσθεί (= εγγραφεί) τεθλασμένη γραμμή εκ δύο ανίσων τμημάτων και εκ του μέσου του τόξου αχθεί κάθετος επ' αυτήν, τα τμήματα της τεθλασμένης, της ούτω διαιρουμένης, είναι ίσα."

Αυτός ο ισχυρισμός έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν τα μήκη χορδών του αθροίσματος και της διαφοράς δύο δεδομένων τόξων.

Η απόδειξη του λήμματος δεν παρουσιάζει δυσκολία (όπως άλλωστε και το παραπάνω πρόβλημα).

Στο φόρουμ έχει συζητηθεί αρκετές φορές το υπέροχο αυτό θεώρημα του Αρχιμήδη. Βλέπε π.χ. εδώ, λιγότερο εδώ και αλλού.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης