Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα και τέμνονται στα σημεία και . Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο , τέμνει
την εφαπτομένη στο του δεύτερου κύκλου, στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και έχουν κοινή διχοτόμο.
την εφαπτομένη στο του δεύτερου κύκλου, στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και έχουν κοινή διχοτόμο.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Ας δούμε μια λύση με στοιχειώδη μέσα στο όμορφο πρόβλημα του Γιάννηgiannimani έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pmΔύο άνισοι κύκλοι με κέντρα και τέμνονται στα σημεία και . Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο , τέμνει
την εφαπτομένη στο του δεύτερου κύκλου, στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Έστω . Τότε έχουμε:
(υπό χορδής και εφαπτομένης – αντίστοιχη εγγεγραμμένη στον κύκλο ) οπότε επειδή τα τρίγωνα μοιράζονται και τη γωνία θα είναι όμοια , άρα Επίσης
Και συνεπώς τα ισοσκελή τρίγωνα (εξαιτίας των ακτινών) έχοντας τις γωνίες των «κορυφών» τους ίσες θα είναι όμοια οπότε
Από . Από την προκύπτει ότι οι αντίστοιχες κάθετες πλευρές των ορθογωνίων (στις κορυφές από τις επαφές) τριγώνων αντίστοιχα είναι ανάλογες , οπότε αυτά είναι όμοια και συνεπώς οπότε οι γωνίες έχουν κοινή διχοτόμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση που "πιθανόν" να δικαιολογεί και το φάκελο ...giannimani έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pmΔύο άνισοι κύκλοι με κέντρα και τέμνονται στα σημεία και . Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο , τέμνει
την εφαπτομένη στο του δεύτερου κύκλου, στο σημείο . Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Έστω τα δεύτερα (εκτός των εφαπτομενικά τμήματα των κύκλων αντίστοιχα και ας είναι
Με τις πολικές του ως προς τους κύκλους αντίστοιχα προκύπτει ότι οι σειρές είναι αρμονικές άρα έχουν ίσους διπλούς λόγους , δηλαδή Με
ομοκυκλικά , οπότε άρα τα ισοσκελή τρίγωνα (από τα εφαπτομενικά τμήματα …) είναι όμοια και συνεπώς
και το ζητούμενο έπεται (όπως στην προηγούμενη ανάρτηση)
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Έστω ότι οι ευθείες των ακτίνων και τέμνονται στο σημείο . Τότε, εφόσον , τα σημεία , , και ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου . Το κέντρο αυτού του κύκλου ανήκει στην ευθεία (εφόσον η τελευταία είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής των κύκλων της υπόθεσης), η οποία διέρχεται επίσης από το μέσο του τόξου του κύκλου , που είναι το σημείο .
Έστω επίσης το δεύτερο κοινό σημείο της με τον κύκλο . Η διάμετρος του , οπότε .
Για να αποδείξουμε ότι η διχοτόμος της γωνίας , αρκεί
.
Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα. Πράγματι,
.
(η γωνία είναι αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας , και η διχοτόμος της ).
Τώρα, εύκολα προκύπτει η ζητούμενη ομοιότητα των τριγώνων, και συνεπώς το αποδεικτέο.
Στην πορεία της λύσης χρησιμοποιήθηκαν τα επόμενα λήμματα:
1. .
2. Αν και το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος , τότε .
3. Έστω τέσσερα σημεία , , και , με αυτή τη σειρά, που ανήκουν σε μία ευθεία .
Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τους επόμενους τρεις ισχυρισμούς, τότε θα ισχύει και ο τρίτος:
(a) .
(b) Η είναι εσωτερική διχοτόμος της , όπου .
(c) , όπου .
Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Διαφορετικά με δύναμη σημείου και νόμο συνημιτόνων προκύπτει ότι οι εφαπτομένες των δύο γωνιών είναι ίσες από όπου προκύπτει το ζητούμενο.
Bye :')
Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Έστω .Όπως είδαμε και παραπάνω είναι .Θεωρούμε σύνθεση αντιστροφής κέντρου και ακτίνας και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο της .Τα ανταλλάσσονται,ενώ και ανταλλάσονται,αφού από Θαλή,δηλαδή .Άρα ο πάει στον κι αντίστροφα.Αν δούμε λίγο τον κύκλο που προκύπτει από αυτή τη σύνθεση μετασχηματισμών πριν όμως τη συμμετρία,αυτός είναι ο αντίστροφος του .Άρα,το κέντρο του κύκλου αυτού βρίσκεται πάνω στην ,αφού το κέντρο του αρχικού κύκλου (γνωστή πρόταση).Άρα,τα ,με το κέντρο του αντίστροφου του
είναι συνευθειακά,άρα μετά τη συμμετρία,το συμμετροαντίστροφο του θα πέσει κάπου στη από όπου έπεται η ισογωνιότητα..
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες